Предлагаемый перевод является развитием работы Эсно-Пельтри, сделанной им в 1913 году.

В настоящей работе автор дает ряд оригинальных выводов и гипотез, которых у других ученых, занимающихся проблемой межпланетных сообщений, мало или совсем не затронут. К этим вопросам относятся:

1. Представление движения аппарата в пустоте без тяги при помощи, так называемых, критических кривых и изучение экономики движения, т. е. случая расхода minimum'a горючего.

2. Анализ наивыгоднейшей формы ракеты. Автор разбирает три случая ракет: цилиндрическую, коническую и экспотенциальную, т. е. ракету, движущуюся с постоянной тягой, и отдает предпочтение последней, в особенности для полета людей.

3. Автор советует при пассажирских полетах допускать ускорения, мало отличающиеся от земного (1.1 — 2g), ввиду возможной опасности больших ускорений для организма.

4. Особенно обстоятельно им исследован вопрос о нагревании аппарата при проходе его в атмосфере, а также освещен вопрос о температурах аппарата, которые он получит близ Земли, Венеры, Марса и Меркурия на солнечной и на теневой сторонах.

5. В вопросе о горючем автор допускает возможность, при имеющихся сортах его, посылки ракеты в верхние слои атмосферы, но считает, что полет на планеты или на Луну возможен лишь тогда, когда человек овладеет внутриатомной энергией. Пока же желательно использовать атомный водород, свойства которого еще мало изучены.

6. Признавая теорию С. Аррениуса („панспермию") переноса зародышей с планеты на планету несостоятельной, автор выдвигает свою гипотезу о появлении жизни на планетах, считая ее как один из видов физико-химических явлений, продолжающихся все время и находящихся в постепенной эволюции форм от простейших к более сложным.

В заключение автор призывает к работе по достижению заманчивой проблемы — межпланетных сообщений, путем исследования ряда частных вопросов, чтобы быть готовыми к моменту, когда физики дадут человечеству возможность пользоваться внутриатомной энергией.

Н. Рынин.

Мечта о полете с земли в безграничные звездные пространстве к так же стара, как старо само человечество. Роберт Эсно-Пельтри в ниже следующем своем докладе подходит с научной стороны к задаче, которая в течение многих веков трактовалась разными авторами преимущественнс с фантастической точки зрения. Греческий писатель Лукиан и французский писатель XVII века Сирано-де-Бержерак предлагали самые фантастические способы преодоления земного тяготения. Кто не помнит более близкие к нашему времени проекты снаряда Жюль-Верна и курьезный аппарат Уэльса, в котором достигли Луны первые люди и в котором наружная оболочка обладала таинственным свойством образовывать экран против сил тяготения. Говоря об этой области фантазии уместно здесь вспомнить мало известного романиста Ахилла Эйрода, который в 1865 году предложил для полета с земли род ракеты или реактивного двигателя.

Научное исследование такого двигателя может быть отнесено ко времени лишь 20 лет тому назад, когда Роберт Эсно-Пельтри первый* занялся этой темой в 1907 году, но опубликовал свои идеи в 1912 году, — дата его доклада во Французском Физическом о-ве. Хотя эта увлекательная проблема с тех пор изучалась и другими лицами, среди которых Р. Эсно-Пельтри называет доктора Бинга и американского профессора Годдара, однако можно сказать, что сам автор доклада первый охватил вопрос во всей его широте; он предпринял и широко развил изучение вопроса с научной точки зрения о полете живых существ в таинственные межпланетные пространства.

* Здесь автор ошибается, так как первым, давшим теорию как полета ракеты вообще, так и движения ее в межпланетном пространстве, был русский ученый К. Э. Циолковский (1903 год).

Конечно, проблема еще далека от окончательного разрешения, однако, первый этап уже пройден и ясно показано, какие препятствия еще следует преодолеть в устройстве ракеты, чтобы она могла унести нас к светилам.

Может быть уже близок день, когда человечество будет иметь в своем распоряжении внутри-атомную энергию и тогда осуществятся идеи, столь смело и талантливо высказанные Р. Эсно-Пельтри.

Последний имеет уже ряд прекрасных научных работ разного рода. В особенности в авиации он был пионером и высказывал идеи, часто значительно опережавшие свой век, что указывало на проницательность и интуицию их автора.

Большинство знает его, как изобретателя „manche a balais", т. е. рычага управления, принятого в авиации. Он является автором и ряда других замечательных работ, относящихся к авиации, автомобилизму и, вообще, к механике.

Он был первым, предложившим прямой метод к изучению законов аэродинамики (1905 г.).

В 1906 г. он построил моторный моноплан, что было новизной в это время.

Он предложил испытывать прочность самолетов нагрузкой песком.

Он установил новый метод измерения твердости металлов.

Ниже помещаемый доклад был сделан на общем годовом собрании Астрономического о-ва в 1927 году. Помимо формул и расчетов, представляющих большой интерес, автор раскрывает перед читателем ряд возможностей, окрыляющих человеческое воображение.

С надеждой на осуществление будущей эпохи межпланетных путешествий можно сказать вместе с поэтом:

Генерал Феррье.
Член Института.

Приводим перевод этих стихов, сделанный Т. Рыниной.

В октябре 1927 года мой друг Андрэ Гирш указал мне на ряд работ относящихся к интересующей меня теме. Я старался безуспешно достать их в Вене, где мне пришлось быть позднее. Там я узнал о появлении еще работы Лоренца (Данциг), опубликованной 7 мая 1927 года в журнале Zeitschrift des Vereins deutscher Ingenieure. В этой, весьма серьезной работе, хотя и несколько краткой, была указана библиография, кроме книги Годдара, уже мне известной, еще и новых, неизвестных мне книг:

1925. Н. Oberth „Die Rakete zu den Planeten-Räumen".

1925. W. Hohmann „Die Erreichbarkeit der Himmelskörper".

1925. M. Valier. „Der Vorstoss in den Weltenraum".

Первые две работы мне удалось получить 14 января 1928 года, при чем книгу Оберта я достал в издании 1923 г., а не 1925 года. В работе Гоманна я с удивлением нашел ряд вопросов, составлявших предмет моего изучения, а в некоторых частях он в своей работе шел еще дальше, как например в вопросе о торможении полета в атмосфере, когда он говорит о последовательных облетах земли по эллипсам. Однако, при этом автор рассматривает проходы атмосферы на высоте 75 км со скоростью 11 км/с, не отдавая себе отчета о нагревании аппарата, которое будет настолько значительным, что сделает его неуправляемым.

Что касается отношения начальной и конечной масс аппарата, то здесь результаты Гоманна сходятся с моими, что весьма важно. Поразительно, что он, как и я, ведет свои расчеты до скорости извержения газов 10 000 м/с. Однако, он допускает ускорение 20 g , что дает выгоду не очень большую по сравнению с 10 g. Эта работа заслуживает серьезного изучения, а не краткого упоминания; я очень сожалею, что не познакомился с нею раньше.

В работе Оберта, также обстоятельной и заслуживающей внимания, разбираются вопросы эффекта ускорения и даже даются чертежи ракет.

Приступая к своей работе, я не мог не упомянуть об этих двух работах и не отдать им должного уважения.

При этом я должен просить извинения, если я пропустил другие труды по незнанию, так как не легко собрать библиографию по этому вопросу, и я тогда еще не получил вышеупомянутой книги Вальера.

Роберт Эсно-Пельтри.

Г-н президент, м. государыни и м. государи.*

* Доклад на общем собрании Французского Астрономического о-ва 8 июня 1927 года.

Наш президент, генерал Феррье, по предложению нашего коллеги Андрэ Гирша обратился недавно ко мне с предложением сделать более подробный доклад перед членами о-ва на тему, сообщенную мною 15 ноября 1912 года во французском Физическом о-ве. При этом я добавляю обзор работ, с которыми я ознакомился после упомянутой даты.

Когда, 15 лет тому назад, я хотел сделать доклад о возможностях и трудностях, относящихся к межпланетным путешествиям, в эпоху, когда зародилась авиация и окрыляла надежды, мне казалось более осторожным по многим, может быть и неблагоразумным соображениям, скрыть истинную цель моей работы под названием: „Соображения о результатах беспредельного уменьшения веса моторов".

Ныне я имею возможность опубликовать мои идеи под их истинным названием.

Объем моего прежнего доклада был настолько сокращен секретарем Физического о-ва, что моя мысль часто могла быть едва понята читателем, и это заставляет меня теперь высказаться подробнее, чем это было возможно ранее. Мои идеи на эту тему возникли гораздо раньше упомянутого времени. Давно уже я был поражен той ошибкой, которую допустил Жюль-Верн в своем романе „С Земли на Луну", в котором он описывает путешественников, заключенных в снаряде, выбрасываемом из пушки, длиною 300 метров. При этом, чтобы избежать раздавливания силами инерции при взлете, он помещает у основания снаряда настил высотою в 2 метра, который и должен ломаться. В действительности же эффект действия этого настила был эквивалентен лишь удлинению пушки с 300 до 302 метров, т. е. почти не изменил условие действия сил инерции и опасности для путешественников быть сплющенными.

Отсюда я заключил о необходимости дать разбег снаряду в несколько километров, что привело к применению ракеты.

Я сам не мог бы установить даты появления этой моей идеи, если бы, к счастью, на нее не было ссылки в старой книге капитана Фербера „От холма к холму, от города к городу, от континента к континенту", где он, на стр. 161, говорит:

„Чтобы лететь выше, а этого человек желает, необходимо пользоваться разными способами. Наиболее применим принцип ракеты, летящей под влиянием реакции. Человек будет в ней закрыт герметически, и будет дышать искусственно вырабатываемым воздухом. По существу это будет уже не летательная машина, а управляемый снаряд. Осуществление этой идеи не представляется невероятным, пока солнце снабжает нашу планету запасами энергии. Уменьшение теплоты на земном шаре может быть послужит толчком к новому прогрессу, так как тогда жизнь на земле будет под угрозой. Перед человечеством встанет грозная дилемма: или вернуться к эпохе предков и идти по пути регресса, или идти к новым завоеваниям человеческого гения.

Это предстоит сделать будущим более могущественным и более развитым людям.

Некоторые из них покинут тогда нашу негостеприимную планету, и тогда наступит торжество аппарата легче воздуха, который зародился на наших глазах".*

* „Мы упомянем о людях, которые разделяют эту идею, именно о Уэльсе, Эсно-Пельтри, Арчдеаконе, Квинтоне и о других философах". (Примечание автора).

Примечание к этой книге обозначено Фербером датой 26 июля 1908 г. Таким образом мои идеи фиксируются датой первой половины 1908 года. Я должен заметить, что подобные же идеи высказывал в то же время другой человек, доктор Андрэ Бинг, которого я раньше не знал, и который, после доклада моего в 1912 году, прислал мне свой патент за № 236377 (Бельгия) от 10 июня 1911 года на тему: „Аппарат для исследования верхних слоев атмосферы", и сообщил, что он, несколько лет раньше, беседовал по этому вопросу с моим коллегой по Обществу фрацузских ученых и изобретателей, Эдуардом Белин, изобретателем передачи изображений на расстоянии.

Наконец, в 1912 — 1913 г. американский профессор Роберт Годдар в Принцтонском университете (С. А. С. Ш.) сделал ряд теоретических, подсчетов, а позднее, в 1915 — 1916 г. в Университете Кларка (Ворчестер, Массачузец) произвел ряд опытов с ракетами, предназначенными для исследования высоких слоев атмосферы, следуя идее, высказанной столь поразительно доктором Андрэ Бингом. Профессор даже пришел к заключению, что возможно послать на Луну снаряд с зарядом магнезийного пороха, вспышки которого можно увидеть с земли в телескоп.

При чтении привилегии доктора Бинга получается впечатление, что автор, вероятно, не произвел подсчетов, подтверждающих изобретение, однако, как он мне писал в 1913 году, и как это напрашивается само собою, он просто хотел этим патентом закрепить за собою свой приоритет. При чтении патента можно вывести, хотя и не совсем ясное, заключение, что возможно достичь почти безграничной высоты, при помощи взрыва последовательных ракет, при чем сгоревшие последовательно отпадают, что и составляет главный принцип профессора Годдара, когда он рассчитывает послать снаряд вне атмосферы при шестисоткратном начальном весе против полезного груза. Иными словами, например, для посылки в межпланетное пространство или на Луну (что практически то же самое) груза в 1 кг, необходимо иметь начальный вес снаряда в 600 кг.

Результаты, полученные профессором Годдаром и мною, кажутся на первый взгляд, противоречивыми, так как первый считает возможным посылку снаряда в мировое пространство, я же полагаю пока невозможным послать туда аппарат, способный преодолеть земное притяжение, пока не найден будет более мощный источник энергии вроде радия, какового пока в нашем распоряжении нет.

Однако, это противоречие лишь кажущееся и происходит от того, что Годдар и я изучаем вопрос исходя из разных точек зрения.

Он хочет просто послать на Луну снаряд с порохом и определить момент взрыва на Луне в телескоп. Я же исследую вопрос пересылки живых существ со светила на светило и возвращение их на Землю. Я прекрасно видел возможность посылки небольшой доли снаряда на известное расстояние, как о том свидетельствует формула моего доклада 1912 года, равно как и фраза, следующая за нею вверху страницы 5 (§ II), но при этом отдавал себе отчет, что для этого потребуется громадная начальная масса снаряда. Я считал подобный способ не применимым в случае полета живых существ. В последнем случае, как я докажу ниже, начальная масса должна быть не в 600 раз, а в несколько тысяч раз больше конечной массы, если только желать, чтобы путешественники не были раздавлены при взлете, как это должно было бы быть с героями Жюль-Верна при вылете их из пушки, да еще и по другим, ниже приводимым, соображениям.

Вот каковы, в общих чертах, выводы из моего доклада 1912 года, которые я счел необходимым здесь привести, чтобы у читателя не возникло каких-либо недоразумений. Настоящий мой доклад заключает в себе следующее:

Глава I. Изучение полета ракеты в пустоте; уравнение движения; наиболее экономичная форма; ракеты цилиндрические, конические и экспотенциальные; высоты и скорости либерации (начало свободного полета) коэффициент утилизации.

Глава II. Изучение полета ракеты в воздухе; уравнение движения; уравнение сопротивления воздуха; баллистический коэффициент; наиболее экономичная форма; при известных условиях, сопротивление воздуха не меняет значительно условий, полученных для полета в пустоте; температура сжатого воздуха перед ракетой; допускаемые ускорения.

Глава III. Применение ракет для исследования высших слоев атмосферы и для межпланетных путешествий; стрельба в Луну; полет вокруг Луны; условия, зависящие от скорости извержения; на какие скорости извержения можно расчитывать; возможности осуществления.

Глава IV. Условия, необходимые для перевозки живых существ; межпланетный корабль; условия жизни в нем; физиологический эффект отсутствия ускорения; управляемость; условия ее осуществления; продолжительность и скорость путешествия на Венеру и на Марс.

Глава V. Какой научный интерес представляет посещение других миров? Что мы можем там найти? Обитаемы ли они?

Заключение.

Изучение этой, более простой, задачи является весьма важным для дальнейшего исследования общей задачи с учетом сопротивления воздуха.

Взлет ракеты разделяется на 2 периода: первый или период горения с ускорением в полете и второй — после сгорания всего горючего, когда ракета не имеет реакции, но летит по своей траектории под влиянием полученной скорости.

Рассмотрим пока исключительно прямолинейную зенитную траекторию и введем следующие обозначения:

V — скорость ракеты в данный момент.

v — абсолютная скорость извержения газов.

m — наличная масса горючего (для времени t₀, т = m₀).

р — конечная масса ракеты.

М = m+р — полная масса ракеты в данный момент.

F — сила реакции в данный момент.

Г — ускорение.

dm — элемент массы, извергаемой в данный элемент времени dt.

у — высота в данный момент.

G — ускорение силы тяжести на данной высоте (на уровне моря G = g.

R — сила сопротивления воздуха.

Примечание. Я считаю положительными длины, силы и ускорения направленные вверх, равно как и V. Величины же v, G и R будут положительными по существу (par essence).

Реакция в дюзе. Предположим, что в дюзе установился постоянный режим извергающихся газов (фиг. 3). В момент t в ней содержится

Фиг. 3.

Часть, заключенная между плоскостями А¹ и В является общей в обоих случаях.

Часть между В и В¹ есть масса — dm, изверженная во время dt и она равна массе А и А¹. Эта последняя имеет весьма малую скорость и ее количество движения будет бесконечно малым и второго порядка. Наоборот, первая приобретает скорость извержения, и количество движения ее — vdm будет первого порядка.

Так как другие части газа сохраняют свои скорости, то теорема проекции количества движений дает

.............(2)

.............(3)

*— dM представляет часть полной массы М ракеты, выброшенную за время dt; конечно dM= dm < 0.

Для того, чтобы представить формулы более наглядно, я рассмотрю абсолютные значения G и R и напишу общее уравнение движения

.............(4)

Однако, имея в виду пока движение в пустоте, получим

.............(4 bis)

.............(5)

Можно начертить диаграмму, изображающую движение, откладывая по абсциссам V, а по ординатам у, ограничиваясь случаем положительных у и V.

Заметим, что

.............(6)

.............(7)

Поэтому уравнение (5) можно написать в виде

.............(8)

.............(9)

Критическая кривая. Под названием критической кривой я понимаю кривую, изображающую движение снаряда без извержения газов (без тяги.) Термин этот объясняется тем, что для достижения данной высоты y нет надобности развивать ускорение ракеты до этой высоты, а достаточно развивать его лишь до некоторой, меньшей высоты, соответствующей какой то точке критической кривой, проходящей через точк; высоты У; далее же полет будет происходить по инерции.

Уравнение критической кривой получается из (4 bis), полагая в нем Г = 0, что, в связи с (7) дает

.............(10)

Для малых высот (из дальнейшего будет видно, каких)

.............(10 bis)

Интегрируя, получаем

Уравнение (10) можно представить в виде

Уравнение критической кривой в пустоте, отнесенное к переменной η, будет

Для получения значения η(V,y), достаточно интегрировать (12).

Обозначим через а — радиус Земли; тогда

.............(14)

.............(14 bis)

.............(15)

Полагая η = 0 для y = V= 0, имеем

.............(16)

Если у достаточно мало сравнительно с а, то

.............(16 bis)

Наиболее экономическая кривая. Предполагая, что среда не оказывает сопротивления полету, получим, что для подъема даже на несколько сот километров придется затратить много энергии, и поэтому главной задачей является достичь minimum'a массы топлива, необходимого для подъема данной конечной массы р на данную высоту.

Фиг. 4.

Вычертим критическую кривую (фиг. 4) V₀AY(η,),) проходящую через конечную высоту, и пусть ОBА будет некоторая кривая, соответствующая периоду горения и тяге.

Проинтегрируем уравнение 9

.............(17)

Так как

Уравнение (9) и (12) нам дают

.............(18)

Дифференциальный элемент второй части (17) можно написать, согласно (12), в виде

.............(20)

Проводим кривую ОВ₁ В₁ A₁, расположенную ниже кривой ОВВ¹А и возьмем на ней элемент В₁В¹, который, вместе с ВВ¹ соответствует одному и тому же значению dη. Из этих двух элементов наименьшим будет тот, для которого произведение Vv будет большим, причем независимо от того, какая пара элементов будет выбрана.

Это заставляет нас выбрать наибольшее значение v, определяемое физико-химическими свойствами взрывчатых веществ, которыми мы можем располагать. И если мы таковое вещество выбрали, то v тогда можно считать постоянным.

Благодаря форме кривых η, всегда из двух элементов ВВ¹ и В₁В₁¹, второй будет соответствовать большему V, и это относится ко всем элементам кривых ОВА и ОВ₁А₁. Таким образом вторая кривая является выгоднее первой. Переходя к пределу, видим, что наиболее экономичной кривой горючего будет часть OV₀ оси V, и для нее отношение M₀/P будет minimum.

При этом период горения должен быть мгновенным, ускорение — бесконечно большим, и снаряд имеет подъем dy = 0, при чем формула (17) приводится к виду

............. (21)

.............(22)

Если теперь мы рассмотрим формулу (16), приложив ее последовательно к точкам V₀ и Y кривой η₁ = const., то получим

............. (23)

.............(23 bis)

Если Y мало по сравнению с земным радиусом а, то

.............(23 ter)

При наиболее благоприятных теоретических условиях, и допуская скорость извержения 2000 м/с, для преодоления силы земного притяжения конечной массой в 1 кг. потребуется начальная масса в 269 кг., т. е. величина значительно меньше полученной Годдаром и для случая воздуха, а не пустоты. Если же взять v = 2500 м/с, то эта величина снизится до 88кг.

Однако, не следует упускать из вида, что эти числа соответствуют исключительно абстрактным условиям, и что, если бы пришлось сообщить конечной массе мгновенное и бесконечно большое ускорение, то эту массу пришлось бы сплющить в пластинку без толщины, так, чтобы количество ее на единицу площади равнялось нулю; но тогда ее площадь была бы бесконечно большой и ее границы потеряли бы физический смысл; наконец, при полете в атмосфере выступило бы важное условие об уменьшении сечения аппарата.

Минимальное сечение. Вышеприведенная теория указывает, для площади извержения на единицу массы, верхний бесконечно большой предел. Желательно исследовать вопрос, как это сечение, отнесенное к единице массы, может быть по желанию уменьшено или безгранично, или доведено до некоторого нижнего предела и какого, и опять таки для случая полета в пустоте и с теоретической точки зрения, что пригодится нам позднее при изучении полета в воздухе.

Определение площади извержения. При расширении совершенного газа в дюзе получается скорость извержения, определяемая уравнением

.............(24)

Следует заметить, что давление у выхода из дюзы не определяется давлением в средине ее, где газ расширяется, а скорее определяется отношением сечения устья к сечению горла, учитывая начальные температуру и давление; при этом я здесь не излагаю всю теорию сопл Лаваля. Отсюда следует, что для случая пустоты, чтобы быть логичным, необходимо принять площадь устья бесконечно большой, что приводит нас, как и ранее, к абсурду.

Для выхода из этого затруднения достаточно применить ракету с очень высоким давлением (1000 и даже 2000 кг. на см²), причем, при очень большой степени расширения (100 или 200), газ имел бы при выходе еще достаточно большое давление (10 или 20 кг. на см²), преобразуя в то же время в живую силу большую часть своей энергии, теоретически 74% при степени расширения в 100 и практически, как в опытах Годдара в 64% при степени расширения не указанной.

Отсюда можно заключить, что сечение устья дюзы должно быть возможно большим, т. е. равным миделю снаряда; при очень высоких давлениях, под которыми он будет функционировать, этот мидель позволит достичь степени расширения, достаточной для преобразования большей части энергии в живую силу.

Эти рассуждения позволяют нам вывести следующие упрощенные теоретические заключения о ракетах: сечение устья дюзы является сечением извержения газов и равняется сечению миделя снаряда; через это устье газ извергается в своей конечной стадии расширения со скоростью v. Если предположить, что перед дюзой находится резервуар с горючим, то расход последнего пропорционален расходу массы изверженного газа.

Таким образом мы заменяем действительную ракету теоретической, состоящей из твердого горючего, формы поверхности вращения, имеющей в данный момент скорость данного направления, служащей осью этой поверхности, и ограниченного сзади плоскостью нормальной к этой скорости. Эта плоская поверхность является поверхностью горения и от нее извергаются назад газы со скоростью v. Эта поверхность, по мере расхода горючего, движется в массу его с такою скоростью, что расход газа постоянно соответствует скорости извержения v через устье.

Так как это, чисто теоретическое, упрощение в действительности не совместимо с условием хорошей утилизации энергии, которое требует применение дюзы, то необходимо показать, что оно все же законно и допустимо, так как в дальнейшем оно сильно упрощает все рассуждения. Когда будет идти речь о цилиндрической ракете, то это будет означать, что сечение извержения остается постоянным; если ракета будет конической, то сечение извержения ее остается пропорциональным ⅔ остающейся массы; наконец, если речь будет идти о ракете с постоянной тягой, то в этом случае сечение извержения будет оставаться пропорциональным остающейся массе.

Итак, сечение извержения теперь определено. Объем газа, извергаемого за элемент времени dt будет равен

Пусть плотность его, тогда извергнутая масса будет

.............(27)

Тяга (реакция) будет

Здесь ρ и v определяются физическими свойствами горючего. Поэтому мы можем по произволу располагать лишь значением .

При отправлении с Земли имеем

.............(30)

Правая часть этого неравенства выражает minimum сечения извержения для подъема начальной массы М₀.

.............(31)

Пусть мы имеем некоторый аппарат А формы поверхности вращения вокруг направления скорости, и задан меридиан этой формы. Сравним его с цилиндрическим аппаратом С с теми же начальной и конечной массами причем сечение извержения его постоянно равно наиболее сильному сечению извержения А. Тогда будем иметь всегда

Это имеет место для одних и тех же случайных высот. Скорость расхода горючего, и, вследствии этого, облегчение А, будет всегда меньше или, в крайнем случае, равными таковым же С; по истечении одного и того же времени, оставшаяся масса А будет всегда больше, или, в крайнем случае, равной оставшейся массе С. Если, однако, как это бывает, принять за независимую переменную не время, а высоту у, то это условие уже не является обязательным и здесь могут представиться следующие два случая.

1°. При одинаковой высоте подъема оставшаяся масса А всегда больше таковой же С.

При одном и том же случайном интервале высоты dy имеем следующие элементарные работы

Так как эти работы затрачиваются для определения сил тяготения и для сообщения кинетических энергий, то для одинаковых высот будем иметь

Но так как в этом случае всегда

Суммируя от 0 до некоторого у и извлекая квадратный корень, получим V_A≤V_C.............(38)

Но ракета А имеет по крайней мере хотя бы в одном месте сечение меньше, чем сечение с другой ракеты иначе обе ракеты были бы идентичны; поэтому всегда

Это последнее неравенство приложимо и к случаю, когда, на известной высоте, одна из ракет израсходовала все свое горючее; согласно предыдущему это будет иметь место для цилиндрической ракеты на высоте, где другая еще имеет запас горючего.

Нанесем кривые горючих (фиг. 5)

Фиг. 5.

Предположим, что этот запас будет израсходован мгновенно в тот момент, когда аппарат А достигнет высоты соответствующей концу горения С. Тогда его кривая стала бы параллельной оси У, но она не могла бы достичь предельной точки кривой С. Действительно, если бы это случилось, то это могло бы быть лишь за счет расхода топлива большего, чем у С, потому что, на основании предыдущих рассуждений, кривая ОАС соответствует большему расходу горючего, чем ОС.

Далее, мгновенный расход остатка горючего А потребует бесконечно большого сечения и кривая А не может идти изгибаясь по АС; она будет продолжать подниматься, например, до точки А, где ей еще меньше оснований изогнуться и идти в С.

2°. Если ракета А будет долго оставаться на высотах, мало отличающихся друг от друга, то может случиться, что, по израсходовании части горючего, она достигнет высоты большей с меньшим остатком горючего, чем ракета цилиндрическая на тех же высотах.

Предположим, что на каждой высоте, где ракета А стремится сделаться легче С, мы будем мешать этому, препятствуя соответственно расходу ее активной массы так, чтобы на всех высотах сохранялось неравенство

Тогда останется в силе предыдущий ход доказательств, хотя эффект действия ракеты С в конце концов и уменьшится.

Заключение. Назовем коэффициентом утилизации ракеты отношение

.............(39)

Тогда мы можем сказать, что цилиндрическая ракета имеет коэффициент утилизации лучший по сравнению с другими ракетами того же максимального сечения; иными словами, она может поднять на ту же высоту большую конечную массу или ту же конечную массу поднять на большую высоту.

Рассмотрим цилиндрическую ракету, для которой

Тогда

Аппарат взлетит и будет подниматься по известному закону. Предположим теперь, что мы затрудним взлет, прибавив к ней взрывчатый цилиндр того же сечения и массы m₁ так что

.............(41)

В тот момент, когда эта масса m₁ совершенно сгорит и начнет работать основной аппарат, он будет уже обладать некоторой скоростью и достигнет некоторой высоты; поэтому при работе горючего основного аппарата он достигнет большей скорости и высоты, чем ранее.

Таким образом мы или увеличим конечную высоту, или увеличим конечную массу, если прекратим горение в момент, где соответствующая точка второго аппарата достигнет критической кривой основного.

Заключение. Среди всех цилиндрических ракет одинакового сечения, та, у которой начальная масса будет наибольшей, поднимет выше одну и ту же конечную массу, или на одну и ту же высоту поднимет большую массу, но за счет уменьшения коэффициента утилизации

Критическая кривая. Мы уже видели, что для того чтобы достичь данной высоты H, достаточно производить горение до момента, когда точка (V, у) придет на критическую кривую с пределом V=0 и у = Н.

Уравнение этой кривой получаем из (16) и на основании двух выше приведенных случаев

.............(42)

.............(43)

При H =∞ имеем

.............(44)

Это есть уравнение кривой движения (либерации) снаряда в пустоте.

Прежде чем разрешать полностью теоретическую задачу с учетом сопротивления воздуха, интересно выяснить, каковы могут быть границы теоретических возможностей, применимых к действительной их реализации.

Для упрощения понятий я буду считать ракеты в действительности цилиндрическими, коническими или иной, ранее определенной формы. Сечения извержения обозначим через S, длину в момент t через l. Горючее однородного состава плотностью ρ и скорость сгорания его v¹ имеем

.............(45)

Кроме того, в каждый момент

.............(46)

.............(47)

Интегрируя (45), получим

При конечной начальной длине l₀ ракеты полное время горения будет

.............(49)

Уравнение движения дает

.............(51)

Интегрируя (46), получаем

.............(55)

Условие отрыва от Земли

.............(56)

.............(57)

.............(58)

Положим

.............(59)

Введем еще переменные

.............(60)

.............(61)

.............(62)

При таких обозначениях уравнение (55) напишется следующим образом

.............(63)

.............(64)
.............(65)

Наконец,

.............(66)

Интегрируя, получаем

.............(67)

.............(68)

Здесь y_i и y_j обозначают средние, зависящие от λ, величины. В случае, когда можно пренебречь у по сравнению с а, эти уравнения дают

.............(69)

.............(70)

Если в этих формулах положить t=T, т. е. λ = 1, то получим, что при израсходовании всего горючего скорость будет бесконечно большой, но высота подъема будет конечной. Если в (70) положить λ = 1 k=1, получим эту максимальную высоту при данном v. Если принять

Из этой таблицы видно, что цилиндрическая ракета, т. е. ракета С по постоянным сечениям извержения при скорости последнего 2000 м/с, не будет гореть на высоте более 204 км. При коэффициенте утилизации 1% она будет гореть до 185 км, а при k = 0.5 при том же λ — до 142.5 км.

Скорости V в конце горения получим из (6). Табл. II.

Высота подъема ракеты как снаряда получится из (42)

.............(71)

Скорость, необходимая для преодоления земного тяготения, равна: 11 180 м/с. Этому условию удовлетворяют три нижних строки таблицы II.

Форма ее определена на стр. 30 уравнением

.............(72)

Полная ее масса равна

.............(73)

В частном случае

.............(74)

По закону подобия имеем

.............(75)

Уравнение движения (51) имеет ту же форму, но получает вид

.............(76)

.............(77)

Из (74) и (49) имеем

.............(78)

.............(79)

Наконец, принимая во внимание (47) и (77)

.............(80)

Это уравнение идентично с (55), с заменой в нем v через 3v. Назовем эту скорость v₁ фиктивной

Из (80) и (81) получаем условие взлета

.............(82)

Положим

.............(83)

Обозначение (60) получает вид

.............(84)

.............(85)

Величина (1 — λ) теперь представляет коэффициент линейной утилизации, но не массовой: последний же будет

.............(86)

При таких условиях мы получим те же интегралы, как на стр. 36 с заменой v через v₁ = 3v, т. е.

.............(87)
.............(88)

Если у мало по сравнению с а, то получаются формулы, аналогичные с таковыми же для цилиндрической ракеты. При равных λ скорость конуса будет в 3 раза больше таковой же цилиндра, а высота в 9 раз больше, формула же (86) показывает, что коэффициент массовой утилизации (u) для конуса, меньше, чем для цилиндра, т. е. первый расходует больше топлива, чем второй.

Теорема стр. 31 и следующей выражают, что при сечениях, одинаковых на единицу массы, цилиндр экономичнее конуса; можно также сравнить конус и цилиндр в отношении одинакового расхода горючего и соответственно изменить теорему.

Для ясности в доказательствах я присвою значек ₁ всем количествам, относящимся к конусу, оставляя без этого значка таковые же цилиндра.

Сравним скорости и высоты достигнутые конической и цилиндрической ракетами при одинаковых массовых утилизациях. Из (61) и (86) следует

Откуда

Зададимся случайным λ₁; тогда получим соответствующее λ. Например

Чтобы получить соответственно для конуса V и у, следует утроить и удевятерить таковые же для цилиндра при том же λ = 0.5, а затем пересчитать полученные значения для цилиндра при λ = 0.875. Получаем

k	0	0.01	0.05	0.1	0.5	1
у-м	0 4159	5580 4128	27 009 4 008	51 714 3 858	166 833 2 658	104 319 1 158

k	0	0.01	0.05	0.1	0.5	1
у-м	0 4159	2 492 4 141	12 140 4 071	23 515 3 984	86 370 3 284	94 700 2 409

Из таблиц видно, что бóльшая живая сила остающейся массы цилиндра компенсирует и повышает разницу в потенциальной энергии, соответствующей разнице в высотах, достигнутых к концу горения. Если, например, остающаяся масса будет 1 кг и k=1, то избыток кинетической энергии цилиндра будет 223 000 кг м, а недостаток его потенциальной энергии около 9600 кг м; из (16) видно, что η цилиндра остается значительно бóльшим, чем конуса при сохранении вышеуказанных условий конформности.

На стр. 30-й мы определили такую ракету условием

.............(100)

Такую ракету можно назвать „экспотенциальной" (степенной) по следующим соображениям

Положим

.............(101)

.............(59)

Напишем (100) в виде

.............(102)

Возьмем производную по t и, учитывая (16), получим

.............(103)

.............(104)

Тогда

.............(106)
z=v¹t.............(107)
.............(108)

Это выражение показывает, что когда z стремится к бесконечности, то х стремится к нулю, т. е. такая ракета имеет бесконечно большие длину и продолжительность горения.

Из (49) и (59) положим

Назовем l действительную длину экспотенциальной ракеты; тогда

.............(110)
.............(111)

Наконец, полная масса ее будет (по 104)

.............(112)

Это показывает, что в такой ракете не только радиус и площадь любого нормального сечения, но и остающаяся масса изменяются по степенному закону в функции длины, что и оправдывает название этой ракеты.

Исходя из (109) и заменяя ρv через ρ'v¹ напишем (101) в виде

Это отношение показывает, что L выражает длину цилиндрической ракеты такой же массы и такого же начального сечения, как у рассматриваемой экспотенциальной ракеты.

Уравнение движения

.............(114)

.............(115)

Условие отрыва от земли дает

.............(116)

.............(118)

Вводя скорость V, напишем уравнение (115) в виде

.............(119)

.............(120)
.............(121)

Это уравнение кривой (V, у) за период бесконечно продолжительного горения. V растет с у, причем оба возрастают безгранично.

Исключая из (120) и (44), получим

.............(122)

.............(123)

Примечание. Так как k < 1, то у_с <a

Из (120) и (123) получаем

.............(124)

.............(125)

Расчет времени; критическое время. Уравнение (121)

.............(121)

.............(126*)

*Формулы 127-144 помещены в приложении.
Это эллиптический интеграл.

Не имея возможности получить его точно, я решаю ее приближенно (см. приложение в конце этой работы).

Эта ракета представляет особый интерес потому, что дает почти постоянное ускорение, которому подвергаются, как ее части, так и живые существа, которые могут в ней находиться. Я делаю расчет для трех значений ускорений по причинам, которые будут изложены ниже. При этом получаются следующие значения y_c, V_c и t_c

Обратные значения коэффициента утилизации представляют особый интерес; они даны в таблице V для разных значений v