Входящие в эту формулу соответствующие данные для взрывчатого вещества даны в таблице I. Кроме того отдача, происходящая благодаря извержению массы газов со скоростью w в единицу времени, сообщает полной массе т ускорение, преодолевая в то же время ускорение земного тяготения. Обозначая массу взрывающегося газа через dm, имеем dm Idv a% — — m I -+-g — dt \dt & r" (10) но dr~vdt, поэтому wv -— — vdv-rt-go2 d (—}..............,..' (10a) прибавляя и вычитая по получим ghdm, — ghdm = mvdv-----~— [(v — w)" — v2]— mgc? d (—} .... (lOb) ? \ f / Фиг. 99. Фиг. 100. Это ничто иное, как уравнение энергии, в котором стоящий слева член выражает образование механической энергии частицы газа dm, которая служит как для изменения кинетической энергии самой частицы dm, так и массы т и, наконец, для совершения работы поднятия (последний член справа). В уравнениях (Юа) и (10Ь) входят три переменных т, v, и г. Полная масса т при взрывах постоянно убывает, % то же время как скорость v — возрастает. Далее, обозначая пока неизвестную начальную скорость через vq, и начальную полную массу — /я0, имеем тэт v dm dv — === e и , -— = — -— mi т vn Поэтому уравнение (Юа) получает вид (И) .(12) 276Интегрируем его при начальных условиях v = 0 и г = а для поверх-ноЛи земли W---vq \ О Г Для г = оо получаем конечную скорость го— vq ИЛИ И ДЛЯ Г = : 00, Т. С V — ?>! m Это выражение будет minimum при г/}2 = "2gc или, по уравнению (12Ь), Поэтому minimum будет 2v, Вообще же из уравнений (12Ь) и (13) имеем — 1 Отсюда ускорение в пути будет dv dv a2 ~< -— : rf - dt dr & г* и полное ускорение, полученное благодаря отдаче газов, будет dv eft n a2 ,4 r\ =1g^ ..... / .............. (15) Это соответствует для поверхности земли (a = r) двойному ускорению силы, тяжести, что могут перенести пассажиры в лежачем положении. Для веществ, указанных в таблице I, получаем по уравнению (13а) следующие значения (см. табл. II). 277Взрывчатое вещество А . 2J/I % н -«-о 6.37 505 156 С-»-О2 ............ 7.63 553 252 14.28 7.56 1920 Хлопчатобумажный порох . . i . . . . 20.82 9.10 8900 . Таблица II показывает, что даже в лучшем случае и без учета сопротивления воздуха лишь весьма малая доля начальной массы ракеты сможет вылететь за пределы земного тяготения. Поатому ракетный полет не будет удачным. Время полета от поверхности Земли на определенное расстояние г определится из уравнения (14) с учетом, что dr = vclt (15а) Интегрируя при t = 0 и для г = а, получим <15Ь> где У1= При отношении расстояний f = 1, 2, 3, 4, 10, 25, 50, 63 (удаление Луны) получим время полета: * = 0,21'55", 34'10", 45'25", 1 ч. 47'20", 4ч. 15', 8 ч. 15', 10 ч. 21'. Если удовольствоваться меньшей скоростью полета, то, согласно указания Оберта, можно ограничить расход горючего и достичь блаГО-Т/гл J-, приятного отношения —— • 11ри остановке взрыва аппарат должен лететь как пушечный снаряд. Поэтому получается соединение, вместо отдельных вышеразобранных уже обоих^ способов выстрела и отдачи (фиг. 100). Воспламенение горючего в ракете должно прекратиться лишь тогда, когда на расстоянии г3 будет достигнута соответствующая скорость снаряда, так как иначе снаряд не может преодолеть земное тяготение. dr Для радиальной скорости снаряда имеем v = -r dt 278dv При начальном значении vQ—\/2ga на земной поверхности (16) Подставим это значение в уравнение (14). Тогда получим расстояние, где остановится взрывание г2 = 2а .,.......................(16а) т. е. двойной земной ра'диус. При этом О *"7П/Л/Л / /Л ^"1 \ v*=—ga; v= /yUU м/с..................(l°b) Подставляя в уравнение (14) это выр'ажение v и зная, что w = \/2gh, получим V/2 — wo__„V л (л п\ ~~—е .....................••••(.!'/ Сравнивая это выражение с (13а), видим, что, благодаря остановке взрыва, получается возможность уменьшить отношение масс в 1: \/2 — Q,7 раз. В таблице III приведены для этого случая значения — — для разных взрывчатых веществ. ТАБЛИЦА III Взрывчатое вещество / 34 48 Нитроглицерин.......... .... 199 Хлопчатобумажный порох.......... 582 Эти величины указывают на невозможность ракетного полета, не говоря уже о чрезмерно малой скорости, которая менее 8000 м/с и обращается в нуль для бесконечности. 279Назовем коэффициентом полезного действия при взлете отношение произведенной работы m^g (аН~ъМ к работе взрывчатого вещества, превращенного в газ: (ш0—m^gh, т. е. mi - fi2 \ -1- о 2ga/ (18) Тогда, для ракеты с непрерывным извержением газов, т. е. когда и при прекращении взрыва, т. е. когда г;/ —О 2а , V) = (18a) Эти значения даны в таблице IV, в последнем столбце которой приведены отношения масс ~ -+-1, которые соответствуют коэффициенту г)" = 1 ракеты при прекращении взрывов и при превращении всей энергии взрывчатого вещества в работу поднятия. ТАБЛИЦА IV Вещества1 V V а -+1 -Т Но -К О ............. 0.082 0.193 7.37 С н Оо — . . ; ......... 0.061 0.162 8.63 Нитроглицерин ........... 0.015 0.072 ' 15.28 Хлопчатобумажный порох . ... 00047 0.036 26.82 При этом еще не учтена масса взрывчатого вещества, необходимая для торможения ракеты при обратном возвращении на Землю. Эта масса приблизительно равна той, которая нужна для взлета и была ранее вычислена. Полное же отношение масс ракеты при взлете и при спуске получится как произведение обоих отношений и приведет к невероятным числам. Предыдущее исследование не относится к полету в верхних слоях атмосферы, состав которых, плотность и влияние на полет еще неизвестны. Примечание. В журнале „Die Rakete" 1927 г., стр. 143 появилась критика Оберта на работу Лоренца; эта критика указывает на более благоприятные перспективы ракетного полета. 280Статья 2-я Осуществимость космического полета В сборнике „Jahrbuch der Wissenschaftlichen Gesellschaft f ur Luftfahrt " 1928 был помещен доклад*Напз Lorenz „ Die Ausfuhrbarkeit der Weltraum-fahrt", перевод которой мы ниже и даем. Хотя эта статья повторяет, в общем, выводы первой статьи, однако, в ней есть интересные новые замечания. ДВИГАТЕЛЬ Бурное развитие авиотёхники, основанной на применении мощных легких моторов дало основание новым идеям послать пассажирский аппарат в мировое пространство. Этот аппарат должен преодолеть земное притяжение и достичь других небесных тел. Решение этой проблемы, указанное уже романистами, Жюль-Верном, Куртом Лассвицем и другими, основано на динамическом принципе. Аппарат должен преодолеть тяготение, причем крылья и пропеллер более не пригодны. Необходим двигатель, основанный на работе уже не тех горючих, которые применяются в двигателях внутреннего сгорания, так как необходимого для них кислорода в мировом пространстве нет, а в атмосфере, на высоте от 30 до 50 км его недостаточно. Поэтому необходимо горючее, заключающее в себе кислород, вследствие чего вес его на единицу энергии будет выше. Наиболее мощными горючими в баллистике считаются нитроглицерин и хлопчатобумажный порох (коллодиум). К ним можно присоединить гремучий газ и смесь угля и кислорода, употребляемую в горном деле. В таблице I даны: тепловая энергия Q на единицу веса, высота подъема А0, Л = -^- ТАБЛИЦА I т— е. Горючее • 0 кзл/кг ао км А км W — М/С Ь1 Н2-ьО ........... 3550 1570 1010 4430 7.37 Сн— О2 ............ 2930 1250 835 4048 8.63 1580 670 446 2950 15.28 1100 460 304 2456 21.82 > 281та часть высоты А0, которую утилизируют в баллистике, остающаяся треть теряется, так кадс часть тепла уносится продуктами горения. В предпоследнем столбце даны значения скоростей извержения w = \/2gh. РАСХОД ЭНЕРГИИ Определим расход энергии при движении ракеты в мировом пространстве; исходя лишь из условия преодоления силы тяготения. Обозначим через g ускорение силы земного тяготения у поверхности земли при радиусе последней а. На расстоянии г > а от центра земли, ускорение будет а2 Работа на поднятие массы га будет ч \ .....•................(2) Для г = оо получим предельное значение L0 = mga. При полете на другую планету эта работа уменьшается благодаря притяжению последней, и, начиная от нейтральной точки на линии, соединяющей центры планет, уже не потребуется расхода энергии. Для Луны, которая обладает около -780 массы Земли, эта точка находится в 0,9 расстояния Луны от Земли. Поэтому сбережение энергии до этой точки будет лишь 0,02, а до Луны 0,06 L0, т. е. настолько ничтожное, что можно его не учитывать и принимать расход энергии полностью в L0 как при полете на Луну так и на другие тела.* Наиболее целесообразный расход энергии будет, когда она используется лишь для подъема. Обозначим через /п0 начальную массу корабля m с горючим, тогда масса горючего .будет га0—-га. Формула энергии будет (m0 — га) #. А = L0 = mga при коэффициенте полезного действия ^ = 1. Минимум отношения масс равен •— = — и— 1 . (3) т h • V / Эти величины даны в последнем столбце таблицы I. При этом предполагается что поднимается лишь сам аппарат, но не части, заключающие горючее. Последнее отдает всю свою энергию уже при старте у поверхности земли, что возможно лишь в случае подъема аппарата при помощи выстрела. * См. предыдущую статью „ Возможность космического полета ". l 282- ВЫСТРЕЛ Если не учитывать сопротивления атмосферы при проходе через нее аппарата, то метание должно сообщить ему минимум энергии, соответствующей скорости vq = \l2ga = 11180 м/с. Так как это происходит в трубе, в которой горючее соприкасается с основанием снаряда, то средняя скорость частиц горючего будет у— и прибавка веса (т0 — т) • ^ • При полном превращении энергии горючего в вес (Wucht), получим (о \ о (у /7ZZ/A \ 7JWr\ / л\ gn— 6— •) = 2 ................(4) но поэтому пгр _ ЗЛ н— 2а ~тп — Ж— а Это отношение будет положительным до тех пор, пока ЗА > а, т. е. пока свободная высота подъема горючего больше, чем треть земного радиуса. Согласно таблице I даже гремучий газ не удовлетворяет этому условию, поэтому, в настоящее время нет ни одного вида горючего, которое могло бы сообщить телу минимальную для полета в космос скорость даже при условии безвоздушного пространства. Поэтому бесцельно отыскивать наиболее благоприятные ускорения, определять длину пушки или влияние воздуха, который, при выходе снаряда из пушки с планетарною скоростью даст преграду. Заметим, что в случае возможности такого выстрела при скорости снаряда у Земли г/0, скорость его v в расстоянии г от центра по формуле (1) при q = dv: dt и vdt = dr, будет определяться из (6) т. е. в бесконечно большом расстоянии обратится в нуль. Поэтому вес космического снаряда будет изменяться в обратном отношении с его расстоянием от центра Земли (фиг. 101). » КРАЙНИЕ СЛУЧАИ ОТНОШЕНИЙ МАСС ПРИ КОСМИЧЕСКОМ ПОЛЕТЕ Так как выстрел из пушки не дает возможности цолета в космос, остается исследовать реактивный принцип, т. е. возможность полета ракеты. Уже в случае выстрела можно заметить возможный предельный 283случай, когда при взрыве заряда получаются соотношения масс по урав-' нению (3) для подъема, приведенные в последнем столбце таблицы I. Они дают нижние предельные значения и весьма велики по сравнению С таковыми же в сухопутном, водном и воздушном транспортах, достигая 6—20-кратного предела даже без учета вспомогательных механизмов, рулевых устройств, предполагая плотную загрузку. Кроме того необходимо принять вес пассажиров, продуктов питания, запасов воздуха, приборов, предохранительных устройств и т. п. Можно получить более благоприятное соотношение масс, если предположить, что непрерывное расходование мдссы горючего h.g.dm идет лишь на подъем мгновенной полной массы т. Тогда имеем простое соотношение ; — hgdm = mg -^dr= — mga2 d (—) • % При интегрировании в пределах от г=а до г= со, получим (7) а коэффициент полезного действия Ч (т0 — т) Л (7а) Вычисленные по этим формулам величины приведены в таблице II. Отношения масс получаются настолько большими, а коэффициенты полезного действия настолько малыми, что отпадает всякая мысль о целесообразности подобного устройства. Здесь мы имеем верхнюю границу отношения масс. ТАБЛИЦА II Горючее а h mo m * У) Н2 f-O .............. 637 584 ООН С-ьОо 7.63 2060 0.003 Нитроглицерин ....... ... 1428 ^16 10'1 72.10~г' 20 82 СЧЭ НЛО7 1 1 10~s РАКЕТНЫЙ ПОЛЕТ С ДЛИТЕЛЬНОЙ ТЯГОЙ Реактивный аппарат должен вылетать с Земли с известным ускорением (от состояния покоя). Предположим, для упрощения рассуждений, взлет вертикальным, так что реакция служит как для сообщения полной 284массе т ускорения, так и для преодоления земного притяжения. Имея — dm в виду, что в единицу времени тяга будет w —7— •> получим при скорости полета v dm I di) a2 При dr = vdtt имеем dm Г . о , / 1 \~j /0 ч w . v — = — vdv — ecr d — ....... ....... (8a) т L v'./J Учитывая, что -у— cfrrz — gh . 2] ...... (8b) \ • / ? * Таким образом мы имеем уравнение энергии, в левой части которого выражена энергия развиваемая при извержении продуктов горения, которая служит для подъема аппарата. Так как в этой формуле заключается три переменных: m, v и г, то необходимо сделать некоторые предположения, чтобы решить это уравнение. Например, можно установить режим расхода горючего, т. е. принять" отношение -т— равным известной величине. Далее можно установить пре- делы ускорений, учитывая их опасность для человека (max. = 2g). Вариационное исчисление не дает способа определения из уравнения (8а) *' т такой функции v=f(r)t при которой отношение — имело бы абсолютный минимум. Поэтому предположим полет таким, при котором ускорение равно п2 земного в расстоянии г, т. е. * • '"*,.....................'-О) При взлете v = Q и г = а, поэтому и из (8а) _9 J_ / 1 N g"d I w -— = — (n dm , 2 — ч \ a2 dr I I \ " \ r Г* V При п = 1 имеем Wl) =2. ^ Л /m>n Из (9а) и (9Ь) имеем .....................(Ю) \ ** • / dm lg'^=:2~.................(П) т s т w 285Изменение веса ракеты по (10) нанесено на фиг. 101. Для сравнения с таковым же со снарядом пушки. Обе кривые пересекаются в точке •j = 2а при v^ — ga; vr = 7900 м/с .............(Юа) V 'era Фиг. 101. При г =00 вес ракеты, летящей, с длительным ускорением, будет при предельной скорости V==2*a, •"................••;••• (ЮЬ). совпадать с теоретическим начальным весом пушечного снаряда. При zo2 = 2gh имеем из (11) (11.) При сгорании массы т0 — m развивается энергия (т0 — т) gh, передаваемая остатку массы .ракеты ш. Последняя же в расстоянии г развивает работу 2/1 П ^ 2 * I-------------1 -+. m —— == /77.Z^. а г / , Z Коэффициент полезного действия будет и в пределе (m0 — /n) gh 2тс (т0 — m) h .(12) (12а) ' По этой формуле вычислены данные таблицы III, дающие огромные отношения масс и малые коэффициенты полезного действия. 286 Горючее 2v/a: Л то : т. Ч Н2н-О . . . . • ....... 5.05 156 0,082 С -*— 6« , 5.53 252 0,061 7.56 1920 0,015 9.10 8900 0.005 (13) При г = 0 и г = а получим (13а> где /1=570, При разных расстояниях получаем данные таблицы IV. 63 a I 2 4 25 • 50 (расстояние Луны) • t •= 0 2Г55" 45' 25" 4Ь15' 8h15' 10h21' t' = 0 21'55" 54Ь40' 13h16' 37Ь32' 52>'52' Пересечение обеих кривых веса по уравнениям (6) и (10) происходит при /*! = 2а, где происходит как бы прекращение тяги и дальнейший полет становится замедленным. Для численного исследования этого случая достаточно применить формулы последнего §, учитывая (10а) и полагая г/а соответствующим rl = {2a. Тогда из (11) и (12) т w (m0— m)h .(lib) , (12b) 287По этим формулам вычислены величины таблицы V. ТАБЛИЦА V Горючее 2а: А JTlQ ' Ш Н2-нО С-+-Оо Нитроглицерин Хлопчатобумажный порох 3.57 3.91 5.35 6.43 34 48 199 Г582 0.193 0.162 0.072 0.036 Продолжительность полета до — — 2 определится из (13а), что при учете (6) дает ~ •8а з з получаем при t'= t1-+-2'55" значения второй строки таблицы IV. РАКЕТНЫЙ ПОЛЕТ С РАВНОМЕРНЫМ УСКОРЕНИЕМ Выше изложенные законы движения ракеты дают относительно ГПп наименьшие значения —— вне зависимости от некоторых других факторов, выбирая которые можтно эти отношения уменьшить. Перепишем уравнение (8) для радиального движения г 1 тп 9 Г dr x /4 л\ w\v~ = v-+-gtr \--9~-j ..................(14) & т ° J r2 v dx ^ ' а Здесь второй член указывает влияние силы тяжести. Предположим, что полет происходит с постоянным ускорением q. Тогда, в соответствии с прямолинейным подъемом, кривая взлета будет (фиг. 101) __ dv__vdv __ d lv% \ . rf = 2q(r — a).......................(15) и из (14) г. w\y— = v-*-go2 I ~^ n . . ........•.....(14a) e m ° J r* V 2q (r — a j . a 288интегрируя и подставляя г — а = а tg2 1 1 5 2 3 4 in 2 з/„ 4/„ •"'А* Не, -1 О . 632 418 33.0 25.0 21.5 0.154 — 0.372 С -+— Оа ........ 93.3 594 45.8 33.9 287 0.124 — 0.332 Нитроглицерин .... 506 272 191 126 100 0.043 — 0.174 Хлопчатобумажный порох 1800 853 555 337 257 0.017 — 0.098 Эта таблица показывает, что отношение масс и коэффициентов полезного действия в этом случае более благоприятные, чем при уменьшающихся ускорениях по таблице III и V, хотя ракета и расходует больше энергии. ПРЕКРАЩЕННОЕ РАВНОМЕРНОЕ УСКОРЕНИЕ Предположим, что при скорости г^ ускорение прекратилось, что соответствует, в случае снаряда, удалению rlt или точке пересечения поднимающейся прямой веса со спускающейся кривой (гиперболой) веса. Тогда (20) Учитывая (16) и (17), имеем —- (m0 — m) h (17с) 290Из этих формул получаем таблицу VIII, величины которой более всего подходят к таковым же таблицы VI. Следует однако иметь в виду, что вряд ли можно допустить ускорения— q-+-g^>2q, и тогда речь может идти лишь о величинах в первых столбцах таблиц VII и VIII. ТАБЛИЦА VIII 1 1.5 2 3 4 Y1 1.618 1.458 1.366 1.264 1.207 0.785 0.827 0.855 0.888 0.910 Но -Н О . 23.7 17.4 15.1 133 126 0 280 — 0 548 С н— О2 ....... • . 31.9 22.8 19.4 16.9 16.0 0 247 — 0 508 116 72.9 58.7 , 48.5 45.0 0 125 — 0 327 Хлопчатобумажный порох 306 175 135 107 97.6 0.068 — 0.215 Для определения продолжительности полета получаем из (9) г Г ! 1 t==H~*~ ^ = "^~*~Уг7 LU/ — (а) (21) Так как изменение веса при таком движении отличается от такового же в случае б только в первой части его до rlt то продолжительности полета будут отличаться весьма мало от значения t' второй строки таблицы IV, почему мы и не вычисляем их снова. НАКЛОННЫЙ ПОЛЕТ РАКЕТЫ Предположим, что реактивный аппарат движется под углом $ к радиусу. Обозначим радиальные и тангенциальные составляющие через гиг, wt, vr, vt. Тогда wv v, -? — wv , q vat t - -? = — = cos '«/; — — = — = sin (22) Уравнения движения в обоих направлениях будут dm Idvv t»*2 m _ _ (dvt . *rvt\ dl— -m№4 — Г (23) Зная, что dr = vrdt или vtdtt сложим уравнения (wr vr -+• wt vt) ~ — — (vr dvr ^ dr) 19* 291и, учитывая (22) в связи с (8а), wv — m — ( vdv-ъ— g ^ dr) ..... .......... (23а) На пути ds=vdt при равномерном ускорении будем иметь или, интегрируя dv , qdr -77 = <7; vdv = — — vm. Это последнее выражение играет большую роль в теории реактивного корабля. В противоположность последнему начальная скорость снаряда при выстреле является наибольшей. Подставляя в уравнение (1) значение получим L= : 2 (10) Краткий подсчет показывает, что в результате получается громадная перегрузка порядка 109?, причем даже не принято во внимание сопротивление воздуха. Все это заставляет отказаться как от пушки, так и от центробежной машины. Кроме того снаряд не обладает управляемостью. РЕАКТИВНЫЙ МИРОВОЙ КОРАБЛЬ Реактивный мировой корабль мы представляем себе в виде пассажирской большой ракеты и притом управляемой. Горючее должно иметь наивысший тепловой эффект. В качестве такого могут быть жидкие Н и О (таблица I). ТАБЛИЦА I Горение в пространстве лишенном кислорода Горючее ' Н и О. Продукт горения * водяной пар ...... Тепло-производ. в больш. калор. на 1 кг Скорость извержения Т/а КМ/С 3200 3736 3816 2370 28780 10000 5.18 5.60 5.65 4.45 15.52 9.6 Н6 Се и Од НдО -н COg ..... ....... Горение в атмосфере, богатой кислородом 300