Задача прицеливания на траектории выведения к Луне состоит в определении параметров старта с Земли и участка разгона с околоземной орбиты (независимые переменные) для заданного набора параметров прицеливания (зависимые переменные). Параметрами прицеливания являются радиус периселения окололунной траектории R_m, ширина периселения в лунной системе координат L_m и высота условного перицентра траектории возвращения R_E. В качестве трех независимых переменных рассматриваются время старта T_l, продолжительность движения на промежуточной околоземной орбите t_c и удельная энергия на траектории к Луне С₃. Эти переменные, будучи определенными с помощью итеративного процесса, устанавливают 3 важных зависимых параметра задачи: время старта для заданного азимута, время до второго включения ступени S-IVB при разгоне с околоземной орбиты (на втором или третьем обороте) и удвоенную удельную энергию эллиптической траектории полета к Луне.

При вычислении независимых переменных используется метод Ньютона-Рафсона для системы нелинейных уравнений. Линеаризованные уравнения, записанные в матричной форме, имеют следующий вид:

Для заданного азимута запуска траектория выведения на орбиту ИСЗ оптимизируется независимо от расположения Земли и Луны. Однако участок разгона с орбиты зависит от расположения Земли и Луны, которое определяет требования к изменению плоскости движения при втором запуске ступени S-IVB. Поэтому участок выведения на траекторию полета к Луне должен оптимизироваться совместно с определением независимых переменных. Схема, выбранная для вычислительной программы прицеливания ракеты-носителя на участке выведения к Луне, основана на аппроксимации по методу наименьших квадратов оптимальных параметров активного участка полета ступени S-IVB, выражаемых через параметры гиперповерхности. Это позволяет независимо оптимизировать выведение на траекторию полета к Луне в процессе итерационного вычисления зависимых переменных. Гиперповерхность, показанная на рис. 31.1, образована путем состыковки конических сечений для двух притягивающих центров.

Рис. 31.1. Гиперповерхность траекторий полета к Луне

Рис. 31.2. Параметры участка выведения на траекторию полета к Луне:
а—вид в плоскости выведения; б—проекция на плоскость, перпендикулярную плоскости выведения

При использовании полиномов необходимо знать удельную энергию на траектории к Луне С₃, угол между вектором цели и радиусом-вектором перигея s, а также склонение вектора цели относительно плоскости промежуточной орбиты d. С помощью полиномов вычисляются параметры: a—угол между радиусом-вектором точки начала выведения и проекцией вектора цели на плоскость промежуточной орбиты (Т'); b—угол между радиусом-вектором точки начала выведения и узлом орбиты (W); h—истинная аномалия радиуса-вектора точки конца выведения; R_p — радиус перигея участка выведения к Луне. Параметры a, w, h и R_p задают вектор состояния участка выведения.

В системе уравнений указанные величины используются для определения параметров активного участка и вычисления переменных, соответствующих моменту выключения двигателя. По полиномам также вычисляется приращение характеристикой скорости DV при повторном включении ступени S-IVB. Величина этого приращения необходима для определения веса аппарата и времени работы двигателя. Из-за неточности учета влияния сжатия Земли и модели изменения тяги расчеты по полиномам не совпадают с результатами оптимизации активного участка методом вариационного исчисления на основе ожидаемых параметров отлета от Земли. Поэтому полиномы тарируются, чтобы обеспечить данные, точно совпадающие с результатами расчета активного участка методом вариационного исчисления. Постоянные поправочные члены, необходимые для тарировки, вычисляются как разница между результатами расчета методом вариационного исчисления и величинами, полученными путем оценки полиномов в первом приближении при С₃=С_3g (где C_3g—приближенное значение), d=0 (компланарный случай) и d=6°:

В компланарном случае b=a+s и Da=Db. Указанные поправочные члены получены для обеих возможностей запуска и должны использоваться всякий раз, когда параметры активного участка вычисляются по аппроксимирующим полиномам. Полиномы для участка выведения к Луне тарируются путем добавления вычисленных поправочных членов к приближенным величинам, полученным при подстановке в полиномы текущих величин С₃, d и s.

Полином, определяющий величину DV при втором включении ступени S-IVB, не тарируется. Однако при каждом расчете по полиному вычисляется разница между компланарным значением DV, основанным на параметрах первого приближения (C_3g, d=0, s=6°), и значением DV, определяемым текущими величинами указанных параметров:

При планировании задачи полета на Луну определенное преимущество достигается в случае двух возможностей отлета с околоземной орбиты. Вторая возможность появляется приблизительно через 90 мин после первой (т. е. через один оборот на промежуточной орбите ИСЗ) и оказывается полезной в тех случаях, когда не все системы ракеты-носителя и космического корабля проверены и готовы к повторному включению двигателя для выведения на траекторию полета к Луне. В процессе подготовки полета принимается решение о том, сохранять ли время перелета к Луне для второй возможности таким же, какое требовалось для первой (класс 1) или уменьшить время полета для второй возможности на 90 мин (класс 2). Уменьшение времени перелета на 90 мин при использовании второй возможности позволяет сохранить время прибытия к Луне приблизительно таким же, как для первой возможности.

Рис. 31.3. Выбор компромиссного времени старта:
1—первая возможность; 2—вторая возможность; 3—компромиссное время старта; 4—моменты времени, соответствующие компланарному выведению

В процессе прицеливания ракеты-носителя и выбора времени запуска исследуются оба класса перелетов с целью получения максимального веса на траектории к Луне для обеих возможностей запуска. Рис. 31.3 иллюстрирует логику выбора времени запуска для двух рассматриваемых классов.

Вектор цели для компланарной траектории расположен в плоскости второго активного участка (т. е. d=0), и в процессе выведения к Луне никакого изменения плоскости движения не совершается. Это справедливо для обеих возможностей запуска при компланарных траекториях перелета. Однако, пока ракета-носитель и космический корабль находятся на промежуточной орбите в ожидании второй возможности старта, Луна продолжает двигаться по орбите вокруг Земли в течение дополнительных 90 мин, что приводит к изменению вектора цели. На рис. 31.4 показано перемещение вектора цели,

Рис. 31.4. Компромиссная траектория выведения

1) рассчитывается траектория для второй возможности компланарного запуска; 2) вычисляется вектор цели для первой возможности компланарного запуска; 3) определяется DT_L; 4) находится компромиссное время запуска, основанное на векторах цели для первой и второй возможностей компланарного запуска.

Отвечающее требованиям прицеливания приближенное значение вектора цели для первой возможности запуска (шаг 2 процедуры) можно вычислить без интегрирования траектории.

Рис. 31.5. К расчету времени старта для первой возможности.

При этом с помощью системы координат, связанной с плоскостью движения Луны (рис. 31.5), предварительно устанавливается соотношение между вектором цели для второй возможности запуска Т⁰₂ и положением линии Луна-Земля в момент, соответствующий прибытию в периселений. Методика вычислений состоит в следующем. Даны величины: R⁰_ME2—единичный вектор, направленный по линии Луна-Землд в момент прибытия в периселений по компланарной траектории, соответствующей второй возможности запуска и использованию времени для второй компланарной траектории; Т⁰₂—вектор цели для второй возможности компланарного запуска; N⁰_m—единичный вектор, перпендикулярный плоскости движения Луны. Рассмотрим следующие уравнения:

q⁰₂=N⁰_m X R⁰_ME2;(31.1)
j_m=arcsin(N⁰_m·Т⁰₂);(31.2)
Т⁰₂'=Т⁰₂-N⁰_msinj_m/cosj_m(31.3)
q_m=arcsin(q⁰₂·Т⁰₂'), (31.4)

где q_m—единичный вектор, дополняющий N⁰_m и R⁰_ME2 до правой ортогональной системы координат,: j_m — склонение вектора цели Т⁰₂ относительно плоскости движения; Т⁰₂—проекция вектора цели на плоскость движения Луны; q_m—прямое восхождение вектора Т⁰₂, измеряемое в плоскости движения Луны от линии Луна-Земля, соответствующей моменту прибытия в периселений по второй возможной компланарной траектории.

Предполагается, что вектор цели остается на постоянных угловых расстояниях j_m и q_m от линии Луна-Земля. Если выведение к Луне происходит при первой возможности, а запуск имеет место во время, соответствующее второй возможной компланарной траектории, то положение линии Луна-Земля в момент прибытия в периселений определяется посредством выбора эфемериды, которая сдвинута назад относительно момента прибытия на один период обращения по промежуточной орбите. Вектор цели вычисляется на угловых расстояниях j_m и q_m от результирующего положения линии Луна-Земля, как показано на рис. 31.5. Кроме того отыскивается вектор цели, соответствующий времени первого возможного компланарного запуска, причем должно учитываться дополнительное влияние DT_L. В первом приближении вектор цели Т⁰₂' вычисляется без учета влияния DT_L:
y=arcsin(R⁰_ME2·R⁰_ME1);(31.5)
Т⁰₁'=[R⁰_ME2, q⁰₂, N⁰_m] X [0195 (31.6)
где ф—угол между векторами R⁰_ME2 и R⁰_ME1;

Склонение и прямое восхождение Т⁰₁ определяется как

При вычислении вектора цели Т⁰₁ будем рассматривать его в качестве функции от DT_L с тем, чтобы можно было применить итерационную процедуру для обеспечения перпендикулярности вектора цели Т⁰₁ и нормали к плоскости промежуточной орбиты в случае первой возможности запуска N⁰₁ , т. е. совпадения плоскости перелета и промежуточной орбиты. Из уравнения (31.6) при DT_L=0 в первом приближении определяется вектор цели для первой возможности компланарного запуска. Принимая линейную зависимость прямого восхождения и склонения от DT_L, можно получить уравнения для вычисления этих углов по следующим формулам:

 (31.7)

Остальные уравнения, используемые в итерационной процедуре, представлены ниже

N⁰₂=[N_2x, N_2y, N_2z];
t_E=w_EDT_L-R
R=2pJ(R_E/R_p0)²N_2z;(31.11)

Величины для определения производной дd/дDT_L вычисляются путем решения уравнений (31.7)—(31.10) при DT_L=0 и 60 сек. При вычислении дd/дDT_L принимается линейное соотношение между d и DT_L. Уравнения (31.7) и (31.10) образуют итерационный контур, из которого можно определить величину DT_L удовлетворяющую условию d=0. Когда условие d=0 выполнено, текущее значение DT_L представляет собой время между моментами компланарных запусков для двух возможностей, как показано на рис. 31.3 (в случаях а и б). Текущее значение Т⁰₁ является вектором цели для первой возможности компланарного запуска. Когда необходимо, эти величины затем используются при определении компромиссного времени запуска.

Зависимости параметров активного участка в виде полиномов используются при вычислении веса в конце участка выведения к Луне для первой возможности запуска, осуществляемого в момент времени, соответствующий второй возможности компланарного запуска. Для вектора Т⁰₁ вычисляется угол наклона d к плоскости промежуточной орбиты, а значения С₃ и s приравниваются к величинам, полученным из исследования второй возможности компланарного запуска и гиперповерхности. Результирующий вес W₁ сравнивается с полученным ранее весом для второй возможности компланарного запуска W₂. Если W₁+23 Kг ≤W₂, то в качестве общего времени запуска используется время, соответствующее второй возможности компланарного запуска. Если же W₁+23кг<W₂, то вычисляется компромиссное время запуска.

Для определения компромиссного времени запуска применяется метод последовательных приближений. При этом производится варьирование ориентации плоскости промежуточной орбиты в инерциальном пространстве между векторами Т⁰₁ и Т⁰₂ таким образом, чтобы изменение плоскости движения приводило к получению одинакового веса в конце участка выведения для обеих возможностей запуска. Требуемая ориентация плоскости промежуточной орбиты соответствует компромиссному времени запуска и достигается путем варьирования N⁰₁ и N⁰₂ от исходных положений. Вектор N⁰₂ варьируется посредством уменьшения времени запуска на величину DT_s (измеряемую от времени второй возможности компланарного запуска), а вектор N⁰₁—путем увеличения времени запуска соответственно на DT_L—DT_s-Величина DT_sизменяется до тех пор, пока веса в конце участков выведения для первой и второй возможностей запуска не станут равными. Для получения компромиссного времени запуска текущая величияа DT_s вычитается затем из времени соответствующего второй возможности компланарного запуска.

Ошибка при определении компромиссного времени запуска описанным выше способом может достигать ~20 сек. Однако это время отвечает требованиям проведения итерационных расчетов, связанных с изменением плоскости движения при первой и второй возможностях запуска. После проведения этих расчетов полученные векторы цели, которые принадлежат гиперповерхности, соответствующей изменению плоскости движения, используются для расчета второго приближения компромиссного времени запуска. Нормальные к плоскости промежуточной орбиты векторы снова варьируются, чтобы уравнять веса на траектории полета к Луне. Использование скорректированного компромиссного времени запуска в программе моделирования активного участка показало достаточную точность процедуры уравнивания весов. Это приводило к незначительному расходу топлива на коррекцию среднего участка траектории, связанную с использованием времени запуска, отличающегося от запланированного.

Как следует из рис. 31.3, время запуска для задачи, относящейся к классу 2, определяется существенно проще. Времена запуска для первой и второй возможностей в случае в (рис. 31.3) не являются одинаковыми из-за прецессии орбиты к моменту наступления второй возможности старта. Однако это влияние незначительно и не затрагивает логики, которая используется при выборе траекторий класса 2. Анализ параметров прицеливания показывает, какой класс траекторий (1 или 2) должен использоваться. Когда установлено, что имеет место случай в, то участки вычислительной программы для случаев а и б обходятся. Вектор цели для второй возможности запуска и соответствующие параметры (гиперповерхность) вычисляются на основе времени старта при компланарном перелете. Время запуска для второй возможности используется при определении параметров прицеливания для первой возможности. Как указывалось выше, это время запуска не будет являться оптимальным для первой возможности, однако оно отличается от оптимального всего на несколько секунд.

Как отмечалось выше, лунными параметрами прицеливания (т. е. зависимыми переменными в схеме вычислений) являются радиус максимального сближения R_m и широта j* в селеноцентрической системе координат. Однако эти переменные являются нелинейными по отношению к изменению независимых переменных. Определение широты j* представляет собой особую проблему, потому что в селеноцентрической системе координат эта задача двузначна (одной и той же широты можно достигнуть при сближении по направлению движения Луны и против направления движения). Для получения эффективной вычислительной схемы используются метод параметров попадания и метод перемещающейся конечной точки. Система координат для параметров попадания при встрече с Луной строится, как показано на рис. 31.6; ось Т⁰_m находится в плоскости лунного экватора,

Рис. 31.6. Параметры попадания при встрече с Луной.

Рис. 31.7. Определение переменных для расчета параметров попадания при встрече с Луной.

Так как первые вычисленные значения величин (В·Т⁰)* и (B-R ⁰)* не являются заданными, используется принцип ограничения перемещения конечной точки. Вследствие изменения входной асимптоты гиперболы изменяются также величины q* и а. Результатом этого является медленное изменение (В·Т⁰)* в процессе вычислений, однако процесс быстро сходится, так что заданные величины R_m* и j* и получаются эффективно.

Для вычисления параметров точки попадания используются формулы

Q⁰—единичный вектор скорости в периселении; В_m вектор, направленный из центра Луны перпендикулярно входной асимптоте.

Действительные лунные параметры попадания определяются как

Земные параметры попадания

Радиус наибольшего сближения с Землей R_Е также выражается через параметры попадания, чтобы гарантировать монотонность и достаточную линейность функций относительно переменных отправления от Земли. На рис. 31.8 показаны траектория возвращения к Земле и система координат для определения параметров попадания. Вектор S⁰_E направлен приблизительно вдоль линии Луна-Земля, соответствующей моменту отправления от луны, Т⁰_Е расположен в плоскости земного экватора, R⁰_E дополняет систему до правой

На рис. 31.9 показаны зависимости B_Е·Т⁰_Е и B_Е·R⁰_Е от продолжительности активного участка ступени S=IVB и времени старта для тех же условий отправления от Земли.

Поскольку вблизи Земли ограничен лишь параметр R_E,-необходима только одна компонента параметра попадания. Вычисления показывают, что при изменении каждого из

Рис. 31.8. Параметры попадания при встрече с Землей.

Рис. 31.9. Зависимость параметров попадания и re от изменения продолжительности активного участка и времени старта.

трех начальных условий величина B_Е·T⁰_Е изменяется сильнее, чем B_Е·R⁰_Е. При определении параметра (B_Е·T⁰_Е)* через R_E* вычисления производятся по следующим формулам:

где b_E*—заданная величина эллиптического параметра попадания; I*_stE—заданный угол между В⁰_E и T⁰_E; В·T⁰_E—заданный параметр попадания при возвращении к Земле.

Вычисление действительных величин В·T⁰_E и В·R⁰_E в процессе каждой итерации производится следующим образом. В перигее заданы радиус-вектор относительно центра Земли R, вектор скорости V и большая полуось геоцентрического эллипса а. Расчет проводится по формулам
где N_p⁰—единичный вектор, перпендикулярный плоскости геоцентрического эллипса; f—угол между R ⁰ и В_E⁰; е—эксцентриситет геоцентрического эллипса; b_E—модуль вектора B⁰_E, направленного перпендикулярно S⁰_E из центра Земли к действительной входной траектории; В_E, T_E⁰, В_E, R_E⁰—действительные параметры попадания.

Траектории, которые подходят к Луне по направлению движения, не гарантируют получения участка возвращения к Земле, который будет отвечать требованиям сходимости процесса расчета траекторий. Чтобы обеспечить получение траектории возвращения к Земле, в схеме расчета с использованием сфер действия вводится разрыв между окололунным и околоземным участками траектории. На каждой окололунной траектории согласно рассматриваемой схеме расчета космический корабль переводится из состояния, соответствующего действительному периселению, в требуемое состояние. После этого начинается интегрирование околоземной траектории. Разрыв исчезает при достижении сходимости. Показанные на рис. 31.7 геометрические соотношения для окололунного участка позволяют определить R_m* и j_m*. Если известны вектор S_m⁰ и наклонение I_st*, то требуемые значения радиуса-вектора периселения Р* и вектора скорости Q* можно вычислить по следующим формулам: