MV = mv.         (103)*

При этом кинетическая энергия земли

А = 1/2MV²,         (104)*

а кинетическая энергия ракеты

a = 1/2mv²,         (105)*

А:а = V:v = m:M.         (106)

Так как m с М, то величиной а можно фактически пренебречь по сравнению с А. Точно так же обстоит дело, если рассматривать свободное движение ракеты в поле земного тяготения. Здесь надо лишь ввести вместо тяги действие силы тяжести. При значительной массе ракеты (порядка массы Земли) этого нельзя, конечно, делать.

Закон сохранения энергии становится недостаточным также, если мы желаем рассчитать полет ракеты между двумя планетами. Между Землей и Марсом, например, ракетный корабль мог бы описать эллипс Кеплера только в том случае, если бы можно было пренебречь влиянием притяжения Земли. Однако вначале при старте ракета опережает Землю, так как она в этот момент обладает относительно Солнца большей угловой скоростью, чем Земля (фиг. 32). Однако позже ее угловая скорость становится меньше угловой скорости Земли, так что Земля еще раз проходит мимо ракеты. В результате этого образуется составляющая скорости около 300 м/сек, энергия которой обусловливается движением Земли вокруг Солнца. Этого нарушения движения вполне достаточно для того, чтобы не попасть на Марс.

Вопрос о коэффициенте полезного действия ракетного двигателя является весьма условным. При хорошей конструкции двигателей и правильном подборе топлива термохимическую энергию топлива можно использовать на 50—7О%.

Однако этого недостаточно,— важно, чтобы эта энергия использовалась ракетой. Пока ракета неподвижна, полезное использование энергии топлива равно нулю, так как вся его энергия идет на отбрасывание газов. Чем больше скорость передвижения ракеты, тем меньше скорость газов после истечения. Когда v = c, использование энергии газов происходит наилучшим образом, так как в этом случае они как бы останавливаются позади ракеты, и содержащаяся в них энергия целиком сообщается ракете. При еще большей скорости движения, превышающей скорость истечения газов, их работа, отнесенная к единице массы, увеличивается. В этом случае, однако, надо иметь в виду, что это происходит только потому, что топливу предварительно была сообщена такая высокая скорость. На это, конечно, была затрачена энергия. Мы не можем получить ее назад в полном объеме, так как истекающие газы сохраняют после выхода из сопла еще некоторую скорость, направленную в ту же сторону, что и движение ракеты; таким образом часть энергии топлива двигателя теряется в виде кинетической энергии истекающих газов. Следовательно, при больших скоростях опять получается некоторое снижение значения к. п. д.

Из термохимической энергии горючего в кинетическую энергию единицы массы превращается доля K₁ = 1/2c² (K₁ здесь вычисляется, конечно, по отношению к ракете). Кинетическая энергия относительно Земли, заключавшаяся в единице массы топлива до его сгорания, составляет K₂ = 1/2v². Поэтому общая энергия, заключенная в единице массы топлива, относительно Земли равна:

K₃ = K₁ + K₂ = 1/2 (v² + c²)

При этом тепловая энергия, которая не переходит в движение, во внимание не принимается; эта часть энергии нас здесь не интересует.

Энергия, которая еще содержится в единице массы-топли ва после истечения, составляет (разумеется, без теплоты, которая уносится газами)

K₄ = 1/2 (|v| - |c|)²

Поэтому в ракете используется энергия

K₅ = K₃ - K₄ = 1/2 [v² + c² - (|v| - |c|)²] = |v · c|

До сих пор мы рассматривали вопрос лишь об абсолютных значениях энергии; знак ее мы найдем, заметив, что увеличение энергии может иметь место лишь тогда, когда v и с направлены противоположно друг к другу, ибо, когда v и с направлены одинаково, т.е. когда истечение газов направлено вперед, то ракета испытывает торможение; при этом она теряет энергию. Мы должны, таким образом, считать

K₅ = - v · c         (107)

Графическое изменение этой функции показано на фиг. 33. При постоянном с график представляет собой прямую линию; K₅ становится само по себе неограниченно большим в том случае, если скорость приобретает достаточно большие значения. Пунктирная линия на фиг. 33 соответствует термохимической энергии единицы массы горючего, которая должна быть превращена в энергию движения. Из графика видно, таким образом, на сколько больше энергии может выделить 1 кг горючего при значительной скорости.

Обозначим через у ту часть суммарной кинетической и термохимической энергии горючего, которая в данный момент используется в ракете. Чтобы определить эту величину, мы должны K₅ оазделить на K₃. Тогда получим:

или, если положить - v/c = x

Эта зависимость показана на фиг. 34. Мы видим, таким образом, что при v = — с использование горючего относительно (но не абсолютно) наилучшее.

Но важнее решить вопрос о том, какая часть общей энергии израсходованного горючего проявляется в виде кинетической энергии конечной массы ракеты и какая часть энергии уносится истекающими газами. На этот вопрос невозможно дать определенный ответ. Рассмотрим ракету, летящую в безвоздушном пространстве, свободном от сил тяжести, и выберем координатную систему таким образом, чтобы перед пуском двигателя ракета была неподвижна относительно этой координатной системы. Если А есть общая энергия горючего, допускающая превращение в энергию движения газов (т.е. не расходуемая для нагрева газов), а Е — кинетическая энергия ракеты, соответствующая скорости v (v здесь, таким образом, представляет собой идеальную скорость), то, согласно (6)*,

Отсюда следует, что

Обозначим отношения E/A через у и - v/c через х. Тогда, рассматривая только область положительных х, из уравнения

непосредственно найдем, что с возрастанием х (если считать с постоянной, то это равносильно возрастанию v) y должно стремиться к нулю, так как знаменатель возрастает гораздо быстрее числителя. Применяя метод раскрытия неопределенностей, можно убедиться в том, что при x (или v), равном нулю, y также равен нулю.

Фиг. 35 показывает форму кривой для уравнения (109а). Максимум можно получить дифференцированием, которое дает

Для x_opt числитель должен равняться нулю. Следовательно,

Отсюда можно вычислить x_opt ≈ 1,593. Таким образом видно, что между кинетической энергией по окончании действия тяги и энергией топлива устанавливается наиболее благоприятное соотношение при v = 1,593 · с. В этом случае m₀ = 4,94m₁, а расход горючего составляет m₀ — m₁ = 3,94m₁. При этом из термохимической энергии топлива в кинетическую переходит следующая доля:

Ракета же в конце концов имеет энергию движения

Следовательно, E/A = 64,7%. Большего к.п.д. относительно места старта при постоянной скорости истечения ракета не может иметь даже в том случае, если бы двигатель ее имел к.п.д., равный 100%. Если считать, что кинетическая энергия истекающих газов составляет максимум 70% химической энергии топлива, то мы найдем, что в ракете при постоянной скорости истечения и при самых благоприятных предпосылках в энергию движения конечной массы может превратиться лишь, половина энергии топлива.

Отношение E/A улучшается, когда с переменно и возрастает одновременно с v; лучше всего, когда в течение длительного времени с = v, т. е. когда истекающие газы за ракетой находятся в состоянии покоя.

Тогда, естественно, вся полученная кинетическая энергия используется ракетой, и теряется лишь та часть энергии, которая идет на нагревание газов, а также та часть энергии, которая понадобилась для того, чтобы поднять горючее на высоту, на которой оно в данный момент находится. При вертикальном подъеме позади ракеты в этом благоприятном случае должен .образоваться высокий столб газов, и, конечно, на его образование затрачивается известная работа, как и на возведение всякой другой высокой колонны. Мы вскоре увидим, что эта работа сравнительно велика. Правда, условие v = c может выполняться, лишь начиная с некоторого минимального значения скорости до скорости полета, равной наибольшей возможной скорости истечения. Для указанного вида движения справедливы следующие формулы:

Таким образом в этом случае масса обратно пропорциональна скорости. Если скорость полета ракеты немного отличается от скорости истечения газов, то потеря энергии сравнительно невелика, так как она возрастает лщнь пропорционально разности квадратов. Когда, например, v = c/2, то с газами уносится лишь 1/2dm · c²/4 энергии, тогда как энергия самой ракеты возрастает на

Эта величина, таким образом, вчетверо больше кинетической энергии истекающих газов.

То обстоятельство, что работа ракеты протекает наиболее рационально при скоростях полета, близких к скорости истечения газов, способствует отчасти тому, что применение спирта в качестве горючего целесообразнее для ракет с меньшими скоростями, т. е. для полетов в нижних слоях атмосферы, а применение водорода — для ракет с более высокими скоростями. Хотя жидкий водород стбит теперь в пять раз дороже спирта, применение его в высотных ракетах все же дешевле, так как при этом имеется лучшее использование горючего. На более значительных высотах к. п. д. водородной ракеты опять ухудшается. В будущем придется заняться исследованием возможности увеличения скорости истечения продуктов сгорания при помощи электрических установок. За основу все же можно будет, вероятно, принять водородные и спиртовые ракеты, так как они могут лучше, чем другие теплосиловые двигатели, реализовать сообщаемую им термохимическую энергию до скорости 7000 м/сек.

2. Проблема синэргии

Принятые обозначения

a — опорное ускорение. b — ускорение. c — скорость истечения газов. g — ускорение силы тяжести. g0 — ускорение силы тяжести на земной поверхности. m — масса Земли. p — параболическая скорость. r — расстояние от центра Земли. r0 — радиус Земли. t — время. v — скорость. vX — идеальная скорость. A — работа, производимая ракетой. E — энергия. P — тяга. α — угол между направлением полета и осью ракеты. β — угол между горизонталью и направлением полета. φ — угол между радиусом-вектором и избранным неподвижным направлением.

1. Множитель с в этой формуле просто показывает, что при истечении одного и того же количества продуктов сгорания ракета приобретает тем большую энергию, чем больше скорость истечения*.

2. Наличие множителя v представляет большой интерес, так как оно показывает, что приращение энергии при прочих равных условиях тем больше, чем быстрее летит ракета. Отсюда возникает требование: следует стремиться к обеспечению возможно более высоких скоростей полета ракеты при работе двигателя.

Покажем на некоторых примерах, что это означает.

а) С точки зрения закона сохранения энергии нет никакой разницы в том, вывбдится ли данное тело из сферы притяжения Земли в течение нескольких лет или ему сообщается скорость, которая уносит его за пределы земного тяготения в течение нескольких минут. Как в том, так и в другом случае каждому килограмму массы тела необходимо сообщить 6 370 000 кем энергии. Если ракета поднимается с постоянной скоростью или небольшим ускорением и использует силу тяги лишь для того, чтобы противодействовать силе тяжести, то ракета расходует несравненно больше горючего, чем в том случае, когда ей сразу сообщается скорость, с которой она движется дальше, не расходуя больше горючего. Для того чтобы достичь той же высоты, ракета в последнем случае должна по прекращении действия тяги обладать большей скоростью, так как она находится ближе к Земле. Более высокой скоростью эта ракета, конечно, уже обладала достаточно продолжительное время в течение разгона, и за это время продукты сгорания увеличивали энергию ракеты больше, чем в случае медленного подъема.

В этом месте можно было бы, впрочем, указать еще на то, что, кроме дифференциальной формулы (112), существует еще интегральная формула, которая дает нам возможность применить закон сохранения энергии к проблеме движения ракеты. При этом речь идет об энергии, которая сообщается лишь конечной массе ракеты.

Пусть m₁ масса ракеты по окончании работы двигателя и b - идеальное ускорение ракеты. Тогда из полной тяги на массу m₁ приходится доля, равная m₁b; остальная часть расходуется на ускорение топлива, которое впоследствии отбрасывается. В течение малого промежутка времени dt конечная масса получает прирост энергии m₁vbdt, так что в конце работы двигателя ракета имеет кинетическую энергию m₁∫bvdt. Отсюда видно, что мы должны знать значение b или, по меньшей мере, отношение m/m₁ и фактическую тягу.

b) Далее, из требования большой скорости полета во время работы двигателя вытекает требование пологих траекторий во время разгона. Выгодность наклонных траекторий можно уяснить себе и без формулы (112), если принять во внимание, что при вертикальном подъеме сила тяжести направлена пробив ускорения ракеты, в то время как при наклонном подъеме эта сила уменьшает ускорение только на величину g sin α (см. фиг. 29). Естественно, что это условие в известном смысле противоречит требованию отвесного прохождения атмосферы, поэтому к разъяснению поднятого вопроса нам еще придется вернуться.

c) Исходя из условия полета с большой скоростью во время работы двигателя, желательно использовать вращение Земли, т.е. направить ракету по наклонной траектории к востоку. Если, например, ракета поднимается с экватора, то в результате вращения Земли она уже обладает скоростью в 460 м/сек. При прочих равных условиях ракета достигнет большей скорости, если сила тяги будет действовать в том же направлении.

d) Из условия высокой скорости во время работы двигателя следует требование, которое мы могли бы назвать «сложением толчков» (импульсов). В качестве примера укажем на описание путешествия на Марс в книге Гомана* «Достижимость небесных тел».

Межпланетный корабль поднимается утром навстречу Солнцу со скоростью, близкой к параболической, на высоту 800 000 км. Подъем этот длится около 15 дней, причем корабль практически выходит из сферы земного тяготения. Хотя Марс отстоит от Солнца дальше, чем Земля, но Гоман стоит за подъем в направлении к Солнцу, для того чтобы водитель ракеты мог видеть перед собой Землю, освещенную полным светом. Здесь мы не можем согласиться с Гоманом. По нашему мнению, по меньшей мере столь же легко и надежно опреде-лять местонахождение ракеты, если Земля будет видна в виде серпа. Вследствие прозрачности межпланетного пространства та. кие определения не могут быть невозможными, а, наоборот, при отсутствии ослепляющих лучей они должны быть еще надежнее, в особенности если ракета летит в области полной земной тени. В этом случае Земля была бы видна либо как темный диск на фоне зодиакального света, либо как диск, освещенный лунным светом, несколько более светлый, чем задний план. Местонахождение ракеты можно было бы легко определить и в том случае, если бы она находилась уже так далеко, что земная атмосфера казалась бы лишь светлой каймой. Если далее, по Гоману, ракета на высоте 800 000 км почти неподвижна относительно Земли, то относительно Солнца она обладает скоростью Земли, т.е. скоростью, равной 29,7 км/сек. Ракета, обладающая такой скоростью, может длительное время вращаться вокруг Солнца, и притом с тем же периодом и на таком же расстоянии, что и Земля. Упомянутым расстоянием 800 000 км здесь можно пренебречь. Для того же, чтобы покрыть расстояние, отделяющее Марс от Солнца, нужен новый импульс. По расчетам Гомана, этот импульс будет минимальным, если он будет сообщен в направлении движения ракеты и будет достаточно велик для того, чтобы она в результате прироста скорости стала описывать эллипс, подобно комете. Поэтому Гоман и говорит о «кометном рейсе», где перигелий соприкасается с орбитой Земли, а афелий — с орбитой Марса (см. фиг. 32). Этот импульс должен увеличить скорость на 3 км/сек. Для выполнения такого маршрута нужно, естественно, выбрать такой момент времени, когда ракета действительно может встретиться с Марсом, а не только достичь математической линии — орбиты Марса.

Кроме того, чтобы получить дополнительно скорость v_X = 320 м/сек, необходимую для компенсации возмущения траектории, ракета должна израсходовать еще часть топлива. Таким образом, по Гоману, полет происходит так. Сперва дается первый импульс, сообщающий ракете скорость v_X от 12 до 14 км/сек; затем через 15 суток — второй импульс, добавляющий скорость v_X = 3000 м/сек, и далее на протяжении маршрута следуют еще несколько меньших по величине импульсов, сообщающих суммарную скорость v_X = 320 м/сек. В общей сложности горючего должно быть достаточно для сообщения скорости v_X, равной 15 320 — 17 320 м/сек.

Мы не отрицаем, что это ясное и простое изложение в сочетании с изящными и легко доступными пониманию расчетами делает работу Гомана весьма ценной (особенно для диллетантов). Опытный же водитель ракеты никогда не будет трижды подряд давать газ для сообщения сравнительно небольших скоростей. Наоборот, он постарался бы достигнуть цели путем однократного импульса, но с сообщением большой скорости.

Действительно, пусть р означает параболическую скорость ракеты на той высоте, где работа двигателя прекращается, и пусть ракета движется далее с гиперболической скоростью v₁. Тогда за пределами действия поля земного тяготения ракета cохранит еще скорость

Как известно, между кинетической энергией Е_P, требующейся для преодоления поля земного, тяготения, и параболической скоростью существует соотношение

По преодолении силы земного притяжения ракета будет еще обладать кинетической энергией Е₂, для которой, естественно, должно быть справедливо равенство

откуда и следует формула (ИЗ).

Выигрышная сторона такого способа полета выражается в том, что

Одновременно имеем здесь важный закон межпланетных полетов.

Значения скоростей, получающиеся в результате всех энергетических воздействий, для случая свободного движения ракеты суммируются по теореме Пифагора. Действительно, если начальная скорость ракеты v₁ то ее начальная энергия

Второе энергетическое воздействие ±Е₂, которое сообщило покоящемуся телу скорость v₂, равно

Третье и четвертое воздействия дадут

Тогда остаточная энергия, очевидно, будет

а остаточная скорость ракеты v_r, определится из соотношения

Из выражений (114) — (119) следует:

Последнее равенство справедливо лишь для энергетических воздействий, не зависящих от движения тела, на которое они влияют, например, для работы, необходимой для переноса тела из одного поля тяготения в другое, и т.д.

Аналогичным образом можно рассмотреть и скорость возмущения траектории. Если эту скорость обозначить через х, то мы направим ракету несколько иначе и выберем v так, чтобы

Конечно, это не совсем точно для х, так как мы имеем дело с задачей о трех телах, решать которую только на основании закона сохранения энергии можно лишь весьма условно. Ведь возмущение траектории ракеты зависит и от ее скорости. В действительности vt должно быть на 100 м/сек больше, чем при отсутствии возмущения, но не на 320 м/сек, как это принимает Гоман.

Выгода от «сложения толчков» будет для нас ясна, если обратить внимание на то, что

Тогда при v_X = 12 км/сек это даст 12 470 м/сек, а при v_X = 14 км/сек соответственно 14 470 м/сек, т.е. на 2 850 м/сек меньше, чем считает необходимым Гоман.

е) Условия а), Ь) и с) можно охарактеризовать следующим выводом: во время работы двигателя ракета должна оставаться возможно ниже*. Тогда большая часть энергии превращается в кинетическую, и ракета приобретает большую скорость.

3. В формуле (112) фигурирует еще множитель cos α. Отсюда сюда следует, что dA/dm принимает максимальное значение, когда α = 0*. Если бы ракета поднималась отвесно по отношению к центру Земли, она описала бы прямую. Когда же она движется наклонно, то ее траектория в любой рассматриваемой точке образует с горизонталью угол δ. Если к тому же импульс действует в направлении движения ракеты, то к ускорению, вызванному тягой, добавится еще слагающая ускорения силы тяжести

g cos δ

действующая перпендикулярно к направлению движения. Эта последняя и обусловливает искривление траектории.

Фиг. 36. Изменение величины опорного ускорения при возвращении ракеты с парашютом в атмосферу Земли.

По ординате отложены значения опорного ускорения, а по абсциссе — монотонная функция времени, не описанная более подробно в этой книге. а — сплошная кривая показывает изменение опорного ускорения в случае, если ракета снабжена сильно тормозящим парашютом; пунктирная кривая показывает то же, но при очень слабо тормозящем парашюте; ход кривых в обоих случаях один и тот же, но в одном случае процесс торможения наступает позже. б — изменение величины опорного ускорения в случае, если ракета снабжена обычным парашютом (пунктирная кривая) и парашютом с клапанами (сплошная кривая); при открытии клапанов сопротивление воздуха уменьшается на 44%; максимальное опорное ускорение равно здесь лишь 56% опорного ускорения при применении обычного парашюта.

Описываемые таким образом кривые мы назвали «ракетными линиями», потому что ракета, снабженная короткими и широкими стабилизаторами, при наклонном свободном подъеме описывает такую «ракетную линию». Семейство ракетных линий изображено на фиг. 37. При этом ускорение принято здесь за постоянную величину и несколько меньше, чем у модели Е. Мы выбрали ускорение меньшим, потому что характер кривых выявляется тогда нагляднее. Как видно из чертежа, часть кривых возвращается, пересекая снова Землю, другая же часть, наоборот, ее больше не встречает. Так как не существует никаких сил, которые отклоняли бы траекторию вправо или влево, то такие кривые всегда лежат в одной плоскости, проходящей через центр земного шара.

В безвоздушном пространстве сохранение ракетных линий затруднительно. Для обеспечения автоматического их сохранения требуется довольно сложный механизм, в противном случае становится необходимым ручное управление ракетой. Поэтому мы будем рассматривать следование по ракетной линии только лля больших ракет с экипажем.

Примем опорное ускорение за постоянное и включим его в уравнение в качестве обычного ускорения, обозначив через а. Сопротивлением воздуха мы пока пренебрежем.

Пусть
δ — угол с горизонтом;
r — расстояние от центра Земли;
φ — угол, образованный точкой взлета, центром Земли и рассматриваемой точкой;
g — ускорение силы тяжести в рассматриваемой точке;
g₀ — ускорение силы тяжести на поверхности Земли;
r₀ — радиус Земли.

Тогда для ускорения, направленного вверх, имеем

Для горизонтального ускорения

Вертикальная слагающая скорости v выразится через

Горизонтальная слагающая

Отсюда следует:

Мы имеем, следовательно, два дифференциальных уравнения с тремя переменными r, φ и t Интегрирование удается в виде рядов при помощи метода неопределенных коэффициентов. Функциональные зависимости между r и t, φ и t, s (длиной пройденного пути) и t, а также между v и t в общем случае трансцендентны.

Ход кривых, естественно, такой же, как и на фиг. 37. Если эти кривые отнести к прямоугольной системе координат, то они приобретают вид, показанный на фиг.38.

Фиг. 38. Расстояния ракетных линий от земной поверхности, изображенной в прямоугольных координатах.

По абсциссе отложены градусы окружности Земли, по ординате — тысячи километров от центра Земли.

3. Синэргическая траектория

Принятые обозначения

a — опорное ускорение. b — ускорение. f = g/a g — ускорение силы тяжести. gm — среднее значение g на четвертом участке пути. h — высота ракеты над поверхностью Земли (на четвертом участке). h' — вертикальная слагающая скорости (на четвертом участке). p = g -z r — расстояние от центра Земли. s — длина траектории. t — время. v — скорость. v1, v2, v3, v4 — идеальная скорость на 1-м, 2-м, 3-м и 4-м участках. vXK — потеря скорости, обусловленная разностью между α и β. vZ — круговая скорость. w — горизонтальная слагающая скорости. x — горизонтальная координата точки траектории. x' — горизонтальная слагающая скорости. dx'/dt — горизонтальная слагающая ускорения. y — вертикальная координата точки траектории. y' — вертикальная слагающая скорости. dy'/dt — вертикальная слагающая ускорения. z — центробежное ускорение. A — аэродинамическая боковая сила. B — tgα0 + secα0. α — угол наклона траектории. β — угол наклона оси ракеты. Δα — разность направлений, выравниваемая аэродинамическим сносом. ε — угол между осью ракеты и направлением движения. ε1 — начальное значение ε. τ — длительность полета со скоростью, большей круговой.

Таким образом были исследованы 12 различных случаев. При этом было найдено, что скорость v_X для модели Е в конце второго участка синэргической кривой оказалась на 700 — 1100 м/сек больше v₂ (а для трехступенчатых межпланетных ракет на 300 — 400 м/сек). Величина первого и второго участков кривой играет в этих расчетах малую роль; то же самое относится и к фактической конечной скорости (2 — 4 км/сек). Равным образом оказалось, что результат зависит от величины опорного ускорения меньше, чем мы ожидали. Вероятно, дело в том, что при большом опорном ускорении подъем должен быть вначале круче и что при последующем искривлении траектории возникают потери*.

3. На третьем участке синэргической кривой расстояние от центра Земли не меняется. В формулах пользуемся теми же обозначениями, что и в предыдущих формулах (128) — (134), и начинаем рассуждения с формулы (128).

Находим:

Далее, аналогично (132),

Из (160) и (161), исключая dv и интегрируя по t и р, получаем:

Так как полет происходит в безвоздушном пространстве и а постоянно,

К сожалению, это выражение не интегрируется в элементарных функциях, но его можно решить приближенно или графически (при разложении в степенной ряд удобно ввести новый аргумент ξ = √g — p).

Мы нашли, что в зависимости от опорного ускорения и начальной скорости v₂ идеальная скорость на третьем участке синэргической кривой на 80—140 м/сек больше действительной. Если конечную скорость обозначить через v₃,

4. Четвертый участок синэргической кривой также представляет собой ракетную линию. Как мы вскоре убедимся, она лишь немногим отличается от дуги окружности. Обозначим через h высоту ракеты над поверхностью Земли, через h' = dh/dt — вертикальную составляющую ее скорости, через w — ее горизонтальную скорость и, наконец, примем

Где g_M — среднее значение ускорения силы тяжести. Обозначим далее через v_Z круговую скорость, b — горизонтальное ускорение, τ — время, прошедшее с момента достижения круговой скорости.

Величину b можно приближенно считать постоянной. Тогда

Далее,

Из (164) — (166) получаем:

но

и dt = dτ тогда

Но отдельные участки dh не все взаимно параллельны, даже если косинус угла, образуемого ими, всегда близок к единице. Тогда

Обозначив через h₃ высоту, на которой достигнута круговая скорость, получим:

Если в первом приближении примем b = 35 м/сек², т.е. равной а, и будем интегрировать до значения параболической скорости, то получим:

Если взять b немногим меньше, например, b = 34 м/сек², то

При b = 39 м/сек² получаем для максимальной разности высот лишь 9,5 км.

В результате такого подъема конечная скорость уменьшается на 12,6 м/сек (подъем на 14,4 км), или соответственно — на 9,3 м/сек (подъем на 9,5 км) по сравнению с тем, когда ракета совершает полет горизонтально. Однако это уменьшение скорости само по себе не связано с потерей энергии. При увеличении высоты на 14,4 км параболическая скорость также уменьшается на 12,6 м/сек. Все же, согласно (112), в результате уменьшения скорости потеря энергии происходит, и под конец она равна около 0,001 dA/dm. В целом, однако, она оказывается еще значительно меньшей, так что потеря скорости между круговой и параболической скоростями едва достигает 1 м/сек.

При путешествиях на планеты конечные скорости могут (хотя и не должны — см. гл. XVIII) равняться 15 — 17 км/сек. В таком случае этой потерей скорости пренебрегать уже нельзя. Однако требование, чтобы двигатель работал на большой скорости полета, можно выполнить следующим искусственным приемом.

Когда ракета разовьет скорость около 10 км/сек, двигатель следует остановить. После этого ракета будет описывать вытянутый эллипс, перигей которого находится недалеко от той точки, где была достигнута круговая скорость. Когда при своем возвращении ракета будет находиться примерно в 1000 км от перигея, двигатель надо включить вторично.

Тогда максимальный импульс придется как раз в наибольшей близости к Земле. Графическим путем мы нашли, что потеря скорости между круговым и конечным значениями ее пр» опорном ускорении 35 м/сек² меньше 8 м/сек, а такой величиной можно пренебречь.

Остается еще исследовать, вправе ли мы полагать, что вовремя полета до достижения параболической скорости горизонтальное ускорение постоянно и равно по величине а. Согласно (167), при b = 35 м/сек² и τ = 95 сек. получаем:

h₁' = 446 м/сек

Если обозначить угол наклона траектории через α, а его конечное значение — через α₁, то, очевидно,

α << α₁

a > b = a - g sin α ≥ a - g sin α₁

Но

что при h₁' = 450 м/сек дает

a > b > a · 0,990

Следовательно, мы можем считать а действительно постоянным.

Теперь мы в состоянии ответить на вопрос о наивыгоднейшей форме траектории подъема межпланетных ракет. На первом и втором участках синэргической кривой потери скорости составляют в целом 700 — 1100 м/сек, на третьем — 80 — 140 м/сек, а всего на трех участках 780 — 1240 м/сек. Так как в большинстве рейсов траектория может быть наклонена к востоку, то получается увеличение скорости на 250 — 460 м/сек и следовательно v_X должно быть на 320 — 1000 м/сек больше конечной скорости*. Эта скорость при одной и той же цели путешествия, несомненно, больше в той точке, которая ближе к Земле, чем в более удаленной точке. Например, параболическая скорость на высоте 138 км равна 11 140 м/сек, на высоте 1400 км она составляет 10 010 м/сек, а на высоте 1850 км — только 9800 м/сек.

Полет по синэргической кривой дает значительную экономию горючего. Чтобы достигнуть параболической скорости по синэргической кривой, межпланетная ракета должна приобрести идеальную скорость 11 500 — 12 040 м/сек. Для того же, чтобы достичь этой скорости при вертикальном подъеме и опорном ускорении 40 м/сек², требуется, согласно (70) и (80), идеальная скорость 12 700 м/сек, а при опорном ускорении 35 м/сек² — даже 13 500 м/сек. Следовательно, при подъеме по синэргической кривой экономится горючее, способное увеличить скорость v_X на 960 — 2020 м/сек. При гиперболических скоростях экономия горючего еще выше.

Преимущество полета по синэргической кривой заключается еще и в том, что в этом случае нам удастся значительно снизить опорное ускорение, особенно в отдельных местах, например, вблизи области круговой скорости и на втором участке пути. В то же время при отвесном подъеме каждая секунда, удлиняющая время подъема, несет с собой потерю скорости порядка 3 — 8 м/сек.

Необходимо еще указать, что при эллиптических скоростях - ближайшая к Земле точка эллипса траектории (перигей) примыкает к атмосфере. Тогда в апогее (наиболее удаленной точке) достаточно незначительного включения двигателя, чтобы перенести перигей в атмосферу настолько, насколько это необходимо для посадки (ср. гл. XI). В случае вертикального подъема, наоборот, надо достигнуть значительно больших разностей скоростей, что одинаково невыгодно как с точки зрения безопасности, так и расхода горючего. Кроме того, если в апогее (при полете по кривой синэргии) ракете будет сообщен ускоряющий импульс, то она сможет приобрести круговую скорость при минимальном расходе горючего (что важно для осуществления посадки на вращающиеся вокруг Земли станции). Из всего этого следует также, что если доставлять горючее по синэргической кривой на одну из вращающихся вокруг Земли станций в направлении, совпадающем с направлением вращения станции, то это не вызовет уменьшения скорости.

В качестве следующего преимущества синэргической кривой необходимо указать на возможность направления ракеты на траекторию, по которой она может произвольно долго кружиться вокруг Земли, оставаясь в межпланетном пространстве. При крутом же подъеме ракета либо скоро упадет назад, либо должна улететь достаточно далеко, либо, наконец, для изменения направления полета в апогее должна будет включить двигатель и произвести значительный расход топлива. Кроме того, как мы увидим в гл. XI, при любом крутом подъеме все равно придется в апогее включать двигатель, для того чтобы избежать слишком большого опорного ускорения при посадке.

При осуществлении путеше-cтвий на небесные тела большое значение будет иметь еще и то, что при полете по кривой синэнергии место старта может лежать и в умеренном поясе, в то время как при отвесном подъеме старт должен происходить в тропиках. Если при достижении круговой скорости двигатель выключается, то ракета движется вокруг Земли без дальнейшего расхода горючего по большой окружности, соприкасающейся с географическим кругом широты в месте подъема. Плоскость этой окружности пересекает плоскость эклиптики в двух точках. Следовательно, для каждой точки умеоенного пояса наступает дважды в течение суток момент, когда находящееся вблизи эклиптики созвездие оказывается лежащим в плоскости этой большой окружности. Если произвести старт в такой момент и затем двигаться по большой окружности со скоростью v = 7890 м/сек до тех пор, пока центр Земли не окажется приблизительно между ракетой и целью, и если здесь сообщить ракете еще остаточный импульс, то она попадет именно на нужное небесное тело.

Результаты сравнений, проведенных между отвесным подъемом и подъемом по синэргической кривой, сохраняют свою силу, правда, не в такой большой степени, и для наклонных подъемов. Последние тем рациональнее, чем больше траектории приближаются к синэргической кривой, представляющей идеальный случай.

На фиг. 40 показаны две кривые. По оси абсцисс отложены скорости при прекращении работы двигателя. Ординаты пунктирной кривой выражают значения отношений масс m₀/m₁, необходимые для того, чтобы модель Е по прекращении сгорания приобрела требуемую скорость. Ординаты сплошной кривой соответствуют выраженным в земных радиусах и отсчитанным от центра Земли высотам, до которых может долететь ракета с данной скоростью. На фигуре видно, что последние приращения скорости — самые выгодные. Если, например, к скорости 500 м/сек добавить еще 200 м/сек, то достигнутая высота возрастет с 12,8 до 25,6 км, т.е. удвоится. Если же добиться возрастания скорости с 11 до 11,2 км/сек, то достигнутая высота обратится из конечной величины в бесконечную. Быстрый рост пунктирной кривой при сравнительно высоких скоростях показывает, что здесь прирост скорости влечет за собою резкое увеличение расхода горючего, так что труднее всего добиться прироста скорости при больших ее значениях.

Конечно, в действительности нельзя вычислить точные значения отношений масс или конечной скорости. Скорость истечения газов в точности неизвестна нам, и значение ее колеблется в пределах 10%. Поэтому при одном и том же значении отношения масс уже возникают разности импульсов, которые по величине больше, чем вычисленная в книге разность импульсов при отвесном подъеме и подъеме по синэргической кривой.

Однако разработка точной теории все же имеет высокую ценность. Сравнивая отдельные способы подъема, можно, отвлекаясь от «внутренней балистики ракеты», т.е. от скорости истечения газов и работы двигателя, отдать себе отчет в том, какая траектория является наилучшей.

Далее...

Здесь идет речь об абсолютном приращении энергии ракеты, а не об использовании энергии, заключенной в топливе.
Как известно, энергия массы горючего dm, превращающаяся в кинетическую энергию,

и отсюда, а также на основании (112), находим
.